高考数学专题38 利用正态分布三段区间的概率值求概率word版 人教版
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专题38利用正态分布三段区间的概率值求概率
一、多选题
1．已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为，若使标准分X服从正态分布N，则下列说法正确的有().
参考数据：①；②；③
A．这次考试标准分超过180分的约有450人
B．这次考试标准分在内的人数约为997
C．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为
D．
【答案】BC
【分析】
根据正态分布的性质，结合题中所给的公式进行求解即可.
【详解】
选项A；因为正态分布曲线关于对称，
所以这次考试标准分超过180分的约有人，故本说法不正确；
选项B：由正态分布N，可知：，
所以，
因此这次考试标准分在内的人数约为人，故本说法正确；
选项C：因为正态分布曲线关于对称，
所以某个人标准分超过180分的概率为，
因此甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为，故本说法正确；
选项D：由题中所给的公式可知：
，
，
所以由正态分布的性质可知：
所以本说法不正确.
故选：BC
【点睛】
本题考查了正态分布的性质应用，考查了数学阅读能力和数学运算能力.
2．下列命题中，正确的命题是（）
A．已知随机变量服从二项分布，若，，则
B．已知，则
C．设随机变量服从正态分布，若，则
D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，，则当时概率最大.
【答案】BCD
【分析】
对于选项A：利用二项分布的期望和方程公式列出关于的方程，解方程即可判断；
对于选项B：根据排列数和组合数的计算公式计算即可作出判断；
对于选项C：利用正态分布图象的对称性即可判断；
对于选项D：由独立重复实验的概率计算公式和组合数公式,求出，，时的概率，通过解不等式求出的范围即可判断.
【详解】
对于选项A：随机变量服从二项分布，，，可得，，则，故选项A错误；
对于选项B：根据排列数和组合数的计算公式可得，
，，
因为，所以有，即
解得，故选项B正确；
对于选项C：随机变量服从正态分布，则图象关于轴对称，若，则，即，故选项C正确；
对于选项D：因为在10次射击中，击中目标的次数为，，
当时，对应的概率，
所以当时，，
由得，即，
因为，所以且，
即时，概率最大，故选项D正确．
故选：BCD.
【点睛】
本题考查二项分布的期望和方差公式、考查排列数和组合数的计算公式、正态分布图象的对称性的应用和独立重复实验的概率计算公式，考查分析问题和解决问题的能力，熟练掌握统计的相关知识是求解本题的关键，考查计算能力，属于常考题.
3．近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布和，则下列选项正确的是（）
附：若随机变量服从正态分布，则.
A．若红玫瑰日销售量范围在的概率是，则红玫瑰日销售量的平均数约为
B．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
C．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中
D．白玫瑰日销售量范围在的概率约为
【答案】ABD
【分析】
利用正态分布的知识点，代表平均数，图像关于对称，代表标准差，越小图像越集中，选出正确答案.
【详解】
对于选项A：，正确；
对于选项BC：利用越小越集中，小于，B正确，C不正确；
对于选项D：，正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题主要考查利用正态分布曲线解决实际问题.属于较易题.
4．已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X服从正态分布N(105，100)，其中90分为及格线，120分为优秀线，下列说法正确的是（）
附：随机变量服从正态分布N(，)，则P()＝0.6826，P()＝0.9544，P()＝0.9974.
A．该市学生数学成绩的期望为105
B．该市学生数学成绩的标准差为100
C．该市学生数学成绩及格率超过0.99
D．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等
【答案】AD
【分析】
根据正态分布的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
依题意，.
期望为105，选项A正确；方差为100，标准差为10，选项B错误；
该市85分以上占，故C错误；
由于，根据对称性可判断选项D正确.
故选：AD
【点睛】
本小题主要考查正态分布，属于基础题.
二、单选题
5．设某地胡柚（把胡柚近似看成球体）的直径（单位：服从正态分布，则在随机抽取的1000个胡柚中，直径在，内的个数约为
附：若，则，．
A．134B．136C．817D．819
【答案】B
【分析】
由题意可得，，则，再由与原则求解．
【详解】
解：由题意，，，
则
．
故直径在，内的个数约为．
故选：．
【点睛】
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
6．若，则，，已知，则（）
A．0.4077B．0.2718C．0.1359D．0.0453
【答案】C
【分析】
由已知求得正态分布曲线的对称轴，然后结合与原则求解．
【详解】
解：若，则正态分布曲线的对称轴为，
又，，
．
故选：．
【点睛】
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
7．已知随机变量服从正态分布，则（）
参考数据：，，
A．0.6827B．0.3173C．0.15865D．0.34135
【答案】C
【分析】
根据正态分布得和，再计算即可.
【详解】
随机变量服从正态分布，故，，
则，
一、多选题
1．已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为，若使标准分X服从正态分布N，则下列说法正确的有().
参考数据：①；②；③
A．这次考试标准分超过180分的约有450人
B．这次考试标准分在内的人数约为997
C．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为
D．
【答案】BC
【分析】
根据正态分布的性质，结合题中所给的公式进行求解即可.
【详解】
选项A；因为正态分布曲线关于对称，
所以这次考试标准分超过180分的约有人，故本说法不正确；
选项B：由正态分布N，可知：，
所以，
因此这次考试标准分在内的人数约为人，故本说法正确；
选项C：因为正态分布曲线关于对称，
所以某个人标准分超过180分的概率为，
因此甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为，故本说法正确；
选项D：由题中所给的公式可知：
，
，
所以由正态分布的性质可知：
所以本说法不正确.
故选：BC
【点睛】
本题考查了正态分布的性质应用，考查了数学阅读能力和数学运算能力.
2．下列命题中，正确的命题是（）
A．已知随机变量服从二项分布，若，，则
B．已知，则
C．设随机变量服从正态分布，若，则
D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，，则当时概率最大.
【答案】BCD
【分析】
对于选项A：利用二项分布的期望和方程公式列出关于的方程，解方程即可判断；
对于选项B：根据排列数和组合数的计算公式计算即可作出判断；
对于选项C：利用正态分布图象的对称性即可判断；
对于选项D：由独立重复实验的概率计算公式和组合数公式,求出，，时的概率，通过解不等式求出的范围即可判断.
【详解】
对于选项A：随机变量服从二项分布，，，可得，，则，故选项A错误；
对于选项B：根据排列数和组合数的计算公式可得，
，，
因为，所以有，即
解得，故选项B正确；
对于选项C：随机变量服从正态分布，则图象关于轴对称，若，则，即，故选项C正确；
对于选项D：因为在10次射击中，击中目标的次数为，，
当时，对应的概率，
所以当时，，
由得，即，
因为，所以且，
即时，概率最大，故选项D正确．
故选：BCD.
【点睛】
本题考查二项分布的期望和方差公式、考查排列数和组合数的计算公式、正态分布图象的对称性的应用和独立重复实验的概率计算公式，考查分析问题和解决问题的能力，熟练掌握统计的相关知识是求解本题的关键，考查计算能力，属于常考题.
3．近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布和，则下列选项正确的是（）
附：若随机变量服从正态分布，则.
A．若红玫瑰日销售量范围在的概率是，则红玫瑰日销售量的平均数约为
B．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
C．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中
D．白玫瑰日销售量范围在的概率约为
【答案】ABD
【分析】
利用正态分布的知识点，代表平均数，图像关于对称，代表标准差，越小图像越集中，选出正确答案.
【详解】
对于选项A：，正确；
对于选项BC：利用越小越集中，小于，B正确，C不正确；
对于选项D：，正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题主要考查利用正态分布曲线解决实际问题.属于较易题.
4．已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X服从正态分布N(105，100)，其中90分为及格线，120分为优秀线，下列说法正确的是（）
附：随机变量服从正态分布N(，)，则P()＝0.6826，P()＝0.9544，P()＝0.9974.
A．该市学生数学成绩的期望为105
B．该市学生数学成绩的标准差为100
C．该市学生数学成绩及格率超过0.99
D．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等
【答案】AD
【分析】
根据正态分布的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
依题意，.
期望为105，选项A正确；方差为100，标准差为10，选项B错误；
该市85分以上占，故C错误；
由于，根据对称性可判断选项D正确.
故选：AD
【点睛】
本小题主要考查正态分布，属于基础题.
二、单选题
5．设某地胡柚（把胡柚近似看成球体）的直径（单位：服从正态分布，则在随机抽取的1000个胡柚中，直径在，内的个数约为
附：若，则，．
A．134B．136C．817D．819
【答案】B
【分析】
由题意可得，，则，再由与原则求解．
【详解】
解：由题意，，，
则
．
故直径在，内的个数约为．
故选：．
【点睛】
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
6．若，则，，已知，则（）
A．0.4077B．0.2718C．0.1359D．0.0453
【答案】C
【分析】
由已知求得正态分布曲线的对称轴，然后结合与原则求解．
【详解】
解：若，则正态分布曲线的对称轴为，
又，，
．
故选：．
【点睛】
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
7．已知随机变量服从正态分布，则（）
参考数据：，，
A．0.6827B．0.3173C．0.15865D．0.34135
【答案】C
【分析】
根据正态分布得和，再计算即可.
【详解】
随机变量服从正态分布，故，，
则，