概率



1随机事件与概率

①有限样本空间与随机事件

(1)我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示，

我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为E试验的样本空间.用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间.

(2)样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件成为基本事件.随机事件一般用大写字母A,B,C,…表示.

②各种事件

必然事件，不可能事件，随机事件.

在12件瓷器中，有10件一级品，2件二级品，从中任取3件.

1“3件都是二级品”是什么事件？

2“3件都是一级品”是什么事件？

(3)“至少有一件是一级品”是什么事件？

解：(1)因为12件瓷器中，只有2件二级品，取出3件都是二级品是不可能发生的，故是不可能事件.

(2)“3件都是一级品”在题设条件下是可能发生也可能不发生的，故是随机事件.

(3)“至少有一件是一级品”是必然事件，因为12件瓷器中只有2件二级品，取三件必有一级品.

③事件的关系和运算

一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件A包含于事件B，记作A?B；



一般地，事件A与事件B至少有一个发生，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作A∪B或A+B.



一般地，事件A与事件B同时发生，我们称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作A∩B或AB.



一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是A∩B是一个不可能事件，即A∩B=?，则称事件A与事件B互斥(或互不相容).



一般地，如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B=Ω且A∩B=?，则称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为A.





④古典概型

(1)古典概型的特点

有限性：样本空间的样本点只有有限个；等可能性：每个样本点发生的可能性相等.

(2)古典概型事件A的概率

P(A)=事件A的样本点个数样本空间Ω的样本点个数

⑤概率的基本性质

性质1对任意事件A，都有PA≥0

性质2必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0；

性质3若事件A与事件B互斥时，则P(A∪B)=P(A)+P(B).

性质4若事件A与事件B对立事件，则PB=1?PA,PA=1?PB

性质5如果A?B,那么PA≤P(B)

性质6设A,B是一个随机试验中的两个事件，有PA∪B=PA+PB?P(A∩B)





【题型一】对各种事件、事件的关系和运算的理解

【典题1】从5位男生和2位女生共7位同学中任意选派3人，属必然事件的是( )

A．3位都是女生B．至少有1位是女生

C．3位都不是女生D．至少有1位是男生





【典题2】从装有十个红球和十个白球的罐子里任取2球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件是( )

A．至少有一个红球；至少有一个白球

B．恰有一个红球；都是白球

C．至少有一个红球；都是白球

D．至多有一个红球；都是红球





【典题3】如果事件A，B互斥，记A,B分别为事件A，B的对立事件，那么( )

A．A∪B是必然事件B.A?B是必然事件

C.A与B一定互斥D.A与B一定不互斥





【题型二】求古典概型

【典题1】先后投掷两枚骰子，出现的点数记作(m,n)，设X=m+n．

(1)求m=n的概率；

(2)试列举出X≤6的所有可能的结果;

(3)求X≤3或X>6的概率．













【典题2】任取三个整数，至少有一个数为偶数的概率为.









【典题3】一个正方体，它的表面涂满了红色．在它的每个面上切两刀可得27个小立方块，从中任取两个，其中恰有1个一面涂有红色，1个两面涂有红色的概率为.









【典题4】数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个，则三位数的回文数中为偶数的概率是.











【题型二】概率的基本性质

【典题1】有一个公用电话亭，里面有一部电话，在观察使用这部电话的人的流量时，设在某一时刻，有n个人正在使用电话或等待使用的概率为P(n)，且P(n)与时刻t无关，统计得到P(n)=(12)n?P(0),1≤n≤60,n≥7，那么在某一时刻，这个公用电话亭里一个人也没有的概率P(0)的值是．











【典题2】袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？













巩固练习

1(★)将一根长为a的铁丝随意截成三段，构成一个三角形，此事件是( )

A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．不能判定

2(★)在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于6”这一事件是( )

A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．以上选项均不正确

3(★)下列每对事件是互斥事件的个数是( )

(1)将一枚均匀的硬币抛2次，记事件A：两次出现正面；事件B：只有一次出现正面

(2)某人射击一次，记事件A：中靶，事件B：射中9环

(3)某人射击一次，记事件A：射中环数大于5；事件B：射中环数小于5．

A．0个B．1个C．2个D．3个

4(★)袋中有白球2个，红球3个，从中任取两个，则互斥且不对立的两个事件是( )

A．至少有一个白球；都是白球

B．两个白球；至少有一个红球

C．红球、白球各一个；都是白球

D．红球、白球各一个；至少有一个白球

5(★)设M、N为两个随机事件，如果M、N为互斥事件，那么( )...