1.1 集合的含义与表示-新教材人教A版必修第一册练习 (教师版) 人教版
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集合的含义与表示
1元素与集合的概念
一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员).
2集合的元素特征
①确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.
Eg：街上叫声帅哥，是男的都回个头，帅哥没有明确的标准，故“帅哥”不能组成集合.
②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.
Eg：两个学生名字都是“熊涛”，老师也要给他们起小名"熊大""熊二"，以视区别.
若集合A={1，2，a}，就意味a≠1且a≠2.
③无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换.
Eg：高一(1)班每月都换座位也改变不了它是(1)班的事实，1，2，3={2，3，1}.
3元素与集合的关系
若a是集合A的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；
若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A.
Eg：菱形∈{平行四边形}，0∈N，0?{1，2，3，4}.
脑筋急转弯你能证明上帝不是万能的么？
答案：如果上帝万能，他能否创造一块他举不起来的石头么？(这跟集合有什么关系呢？)
4常用数集
自然数集(或非负整数集)，记作N；正整数集，记作N?或N+；整数集，记作Z；
有理数集，记作Q；实数集，记作R.
5集合的分类
有限集，无限集，空集?.
Eg：奇数集xx=2n+1,n∈Z属于无限集，x∈Rx2+1=0=?.
6集合的表示方法
①列举法
把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫列举法.
②描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.
方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 一般格式：{x∈A|p(x)}.
用符号描述法表示集合时应注意：
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式？
(2)元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.
(3)Eg：
A={x|x2?x?2=0}———方程x2?x?2=0的解，即A={?1，2}；
B={x|x2?x?2?94}；
E={(x,y)|y=x2?x?2}———函数y=x2?x?2的图像，它是个点集.
【典题1】下列说法正确的是()
A.某个村子里的高个子组成一个集合；
B.所有小的正数组成的集合；
C.集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一个集合；
D.1,0.5,12,32,64,14这些数组成的集合有五个元素.
【解析】由于“高个子”、“小的”没有一个明确的标准，A,B的对象不具备确定性；
D中的0.5,12,14三个数相等，32,64相等，故集合只有3个元素；
集合具有无序性，所以C是正确的；故选C.
【点拨】本题考核集合元素的三要素.
【典题2】设集合A={2,1?a,a2?a+2}，若4∈A，则a=.
【解析】∵4∈A∴1?a=4或a2?a+2=4，
i若1?a=4，则a=?3，此时a2?a+2=14，∴A={2,4,14}；
(ii)若a2?a+2=4，则a=2或a=?1，
a=2时，此时1?a=?1，∴A={2,?1,4}；
a=?1时，此时1?a=2，则A={2,2,4}不符合集合的"互异性”，故a≠?1.
综上a=?3或2．
【点拨】本题考核集合元素的特征和元素与集合的关系；
当a=?1时，1?a=2，此时A={2,2,4}不符合集合的"互异性”，故a≠?1.
故求出集合后最好做下检查.
【典题3】用列举法表示集合A={6x?2∈Z|x∈N}=.
【解析】根据x∈N，且6x?2∈Z可得：
x=0时，6x?2=?3；x=1时，6x?2=?6；x=3时，6x?2=6；
x=4时，6x?2=3；x=5时，6x?2=2；x=8时，6x?2=1；
∴A={－3,－6,6,3,2,1}．
【点拨】
①看集合先确定元素类型(本题中元素是“6x?2”，而不是“x”)，再看元素需要满足的条件；
②集合若能化简先化简，用最简洁的形式表示能让我们更好理解集合.
【典题4】若集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}至多有一个元素，则a的取值范围是．
【解析】∵集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}至多有一个元素，
∴a=0或a≠0△=4?4a≤0，解得a=0或a≥1，
∴a的取值范围是{a|a=0或a≥1}．
【点拨】注意二次项系数是否等于0，先确认函数类型.
巩固练习
1(★)下列各组对象能构成集合的是( )
A．充分接近的所有实数B．所有的正方形
C．著名的数学家D．1，2，3，3，4，4，4，4
【答案】B
【解析】选项A、C不满足集合的确定性；集合B正方形是确定的，
故能构成集合；选项D不满足集合的互异性．
故选：B．
2(★)以实数x,?x,|x|,x2,?3x3为元素所组成的集合最多含有( )个元素．
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】当x>0时，x=|x|=x2>0，?3x3=?x0,x98;2)若a=0，则有A=23；若a=98，则有A=43；3)a=0或a≥98.
【解析】1)若A是空集，则方程ax2?3x+2=0无解，此时a≠0且Δ=9?8a98.
2)若A中只有一个元素
则方程ax2?3x+2=0有且只有一个实根
当a=0时，方程为一元一次方程，满足条件；
当a≠0，此时Δ=9?8a=0，解得a=98.
∴a=0或a=98
若a=0，则有A=23；若a=98，则有A=43；
3)若A中至多只有一个元素，
则A为空集，或有且只有一个元素
由(1)，(2)得满足条件的a的取值范围是：a=0或a≥98.
1元素与集合的概念
一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员).
2集合的元素特征
①确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.
Eg：街上叫声帅哥，是男的都回个头，帅哥没有明确的标准，故“帅哥”不能组成集合.
②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.
Eg：两个学生名字都是“熊涛”，老师也要给他们起小名"熊大""熊二"，以视区别.
若集合A={1，2，a}，就意味a≠1且a≠2.
③无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换.
Eg：高一(1)班每月都换座位也改变不了它是(1)班的事实，1，2，3={2，3，1}.
3元素与集合的关系
若a是集合A的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；
若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A.
Eg：菱形∈{平行四边形}，0∈N，0?{1，2，3，4}.
脑筋急转弯你能证明上帝不是万能的么？
答案：如果上帝万能，他能否创造一块他举不起来的石头么？(这跟集合有什么关系呢？)
4常用数集
自然数集(或非负整数集)，记作N；正整数集，记作N?或N+；整数集，记作Z；
有理数集，记作Q；实数集，记作R.
5集合的分类
有限集，无限集，空集?.
Eg：奇数集xx=2n+1,n∈Z属于无限集，x∈Rx2+1=0=?.
6集合的表示方法
①列举法
把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫列举法.
②描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.
方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 一般格式：{x∈A|p(x)}.
用符号描述法表示集合时应注意：
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式？
(2)元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.
(3)Eg：
A={x|x2?x?2=0}———方程x2?x?2=0的解，即A={?1，2}；
B={x|x2?x?2?94}；
E={(x,y)|y=x2?x?2}———函数y=x2?x?2的图像，它是个点集.
【典题1】下列说法正确的是()
A.某个村子里的高个子组成一个集合；
B.所有小的正数组成的集合；
C.集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一个集合；
D.1,0.5,12,32,64,14这些数组成的集合有五个元素.
【解析】由于“高个子”、“小的”没有一个明确的标准，A,B的对象不具备确定性；
D中的0.5,12,14三个数相等，32,64相等，故集合只有3个元素；
集合具有无序性，所以C是正确的；故选C.
【点拨】本题考核集合元素的三要素.
【典题2】设集合A={2,1?a,a2?a+2}，若4∈A，则a=.
【解析】∵4∈A∴1?a=4或a2?a+2=4，
i若1?a=4，则a=?3，此时a2?a+2=14，∴A={2,4,14}；
(ii)若a2?a+2=4，则a=2或a=?1，
a=2时，此时1?a=?1，∴A={2,?1,4}；
a=?1时，此时1?a=2，则A={2,2,4}不符合集合的"互异性”，故a≠?1.
综上a=?3或2．
【点拨】本题考核集合元素的特征和元素与集合的关系；
当a=?1时，1?a=2，此时A={2,2,4}不符合集合的"互异性”，故a≠?1.
故求出集合后最好做下检查.
【典题3】用列举法表示集合A={6x?2∈Z|x∈N}=.
【解析】根据x∈N，且6x?2∈Z可得：
x=0时，6x?2=?3；x=1时，6x?2=?6；x=3时，6x?2=6；
x=4时，6x?2=3；x=5时，6x?2=2；x=8时，6x?2=1；
∴A={－3,－6,6,3,2,1}．
【点拨】
①看集合先确定元素类型(本题中元素是“6x?2”，而不是“x”)，再看元素需要满足的条件；
②集合若能化简先化简，用最简洁的形式表示能让我们更好理解集合.
【典题4】若集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}至多有一个元素，则a的取值范围是．
【解析】∵集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}至多有一个元素，
∴a=0或a≠0△=4?4a≤0，解得a=0或a≥1，
∴a的取值范围是{a|a=0或a≥1}．
【点拨】注意二次项系数是否等于0，先确认函数类型.
巩固练习
1(★)下列各组对象能构成集合的是( )
A．充分接近的所有实数B．所有的正方形
C．著名的数学家D．1，2，3，3，4，4，4，4
【答案】B
【解析】选项A、C不满足集合的确定性；集合B正方形是确定的，
故能构成集合；选项D不满足集合的互异性．
故选：B．
2(★)以实数x,?x,|x|,x2,?3x3为元素所组成的集合最多含有( )个元素．
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】当x>0时，x=|x|=x2>0，?3x3=?x0,x98;2)若a=0，则有A=23；若a=98，则有A=43；3)a=0或a≥98.
【解析】1)若A是空集，则方程ax2?3x+2=0无解，此时a≠0且Δ=9?8a98.
2)若A中只有一个元素
则方程ax2?3x+2=0有且只有一个实根
当a=0时，方程为一元一次方程，满足条件；
当a≠0，此时Δ=9?8a=0，解得a=98.
∴a=0或a=98
若a=0，则有A=23；若a=98，则有A=43；
3)若A中至多只有一个元素，
则A为空集，或有且只有一个元素
由(1)，(2)得满足条件的a的取值范围是：a=0或a≥98.
