10.1 随机事件与概率 -新教材人教A版必修第二册练习(教师版) 人教版
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文件简介::
概率
1随机事件与概率
①有限样本空间与随机事件
(1)我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示，
我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为E试验的样本空间.用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间.
(2)样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件成为基本事件.随机事件一般用大写字母A,B,C,…表示.
②各种事件
必然事件，不可能事件，随机事件.
在12件瓷器中，有10件一级品，2件二级品，从中任取3件.
1“3件都是二级品”是什么事件？
2“3件都是一级品”是什么事件？
(3)“至少有一件是一级品”是什么事件？
解：(1)因为12件瓷器中，只有2件二级品，取出3件都是二级品是不可能发生的，故是不可能事件.
(2)“3件都是一级品”在题设条件下是可能发生也可能不发生的，故是随机事件.
(3)“至少有一件是一级品”是必然事件，因为12件瓷器中只有2件二级品，取三件必有一级品.
③事件的关系和运算
一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件A包含于事件B，记作A?B；
一般地，事件A与事件B至少有一个发生，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作A∪B或A+B.
一般地，事件A与事件B同时发生，我们称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作A∩B或AB.
一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是A∩B是一个不可能事件，即A∩B=?，则称事件A与事件B互斥(或互不相容).
一般地，如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B=Ω且A∩B=?，则称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为A.
④古典概型
(1)古典概型的特点
有限性：样本空间的样本点只有有限个；等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
(2)古典概型事件A的概率
P(A)=事件A的样本点个数样本空间Ω的样本点个数
⑤概率的基本性质
性质1对任意事件A，都有PA≥0
性质2必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0；
性质3若事件A与事件B互斥时，则P(A∪B)=P(A)+P(B).
性质4若事件A与事件B对立事件，则PB=1?PA,PA=1?PB
性质5如果A?B,那么PA≤P(B)
性质6设A,B是一个随机试验中的两个事件，有PA∪B=PA+PB?P(A∩B)
【题型一】对各种事件、事件的关系和运算的理解
【典题1】从5位男生和2位女生共7位同学中任意选派3人，属必然事件的是( )
A．3位都是女生B．至少有1位是女生
C．3位都不是女生D．至少有1位是男生
【解析】由于从5位男生和2位女生共7位同学中任意选派3人，
有3位男生，2位男生1位女生，1位男生2位女生，共三种情况
故A为不可能事件，B，C为随机事件，D为必然事件．
故答案为D
【典题2】从装有十个红球和十个白球的罐子里任取2球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有一个红球；至少有一个白球
B．恰有一个红球；都是白球
C．至少有一个红球；都是白球
D．至多有一个红球；都是红球
【解析】对于A，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于B，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取2个球还有都是红球的情形，故两事件不是对立事件；对于C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；对于D，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件.
【点拨】对立事件是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件.
【典题3】如果事件A，B互斥，记A,B分别为事件A，B的对立事件，那么( )
A．A∪B是必然事件B.A?B是必然事件
C.A与B一定互斥D.A与B一定不互斥
【解析】用Venn图解决此类问题较为直观．如右图所示，A?B是必然事件，故选B.
【点拨】利用集合的关系看事件之间的关系会更直观.
【题型二】求古典概型
【典题1】先后投掷两枚骰子，出现的点数记作(m,n)，设X=m+n．
(1)求m=n的概率；
(2)试列举出X≤6的所有可能的结果;
(3)求X≤3或X>6的概率．
【解析】(Ⅰ)先后投掷两枚骰子，出现的点数情况有：
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，
(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，
(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，
(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，
共有36种可能结果，
而m=n有6结果，为(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)，
(也可以使用树状图
)
所以P(m=n)=636=16，
(Ⅱ)X≤6的所有可能的结果有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5)，
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),
(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(5,1),
共有15种情况，
(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)可知，X≤3的所有可能的结果有3种，为(1,1)、(1,2)、(2,1)，
X>6的所有可能的结果有36?21=15，
p(X≤3或X>6)=336+2136=23
【点拨】根据古典概型事件A的概率P(A)=事件A的样本点个数样本空间Ω的样本点个数，一般都用穷举法，比如列树状图或者把每个样本点一一列举，关键就要做到不重不漏,在一一列举的时候最好能够按照一定的规律进行.
【典题2】任取三个整数，至少有一个数为偶数的概率为.
【解析】方法一任取三个整数，共有八种情况：
其中至少有一个数为偶数的情况有7种，所以所求概率为78=0.875，
方法二任取三个整数，共有八种情况，设“都是奇数”为事件A，“至少有一个数为偶...
1随机事件与概率
①有限样本空间与随机事件
(1)我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示，
我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为E试验的样本空间.用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间.
(2)样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件成为基本事件.随机事件一般用大写字母A,B,C,…表示.
②各种事件
必然事件，不可能事件，随机事件.
在12件瓷器中，有10件一级品，2件二级品，从中任取3件.
1“3件都是二级品”是什么事件？
2“3件都是一级品”是什么事件？
(3)“至少有一件是一级品”是什么事件？
解：(1)因为12件瓷器中，只有2件二级品，取出3件都是二级品是不可能发生的，故是不可能事件.
(2)“3件都是一级品”在题设条件下是可能发生也可能不发生的，故是随机事件.
(3)“至少有一件是一级品”是必然事件，因为12件瓷器中只有2件二级品，取三件必有一级品.
③事件的关系和运算
一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件A包含于事件B，记作A?B；
一般地，事件A与事件B至少有一个发生，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作A∪B或A+B.
一般地，事件A与事件B同时发生，我们称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作A∩B或AB.
一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是A∩B是一个不可能事件，即A∩B=?，则称事件A与事件B互斥(或互不相容).
一般地，如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B=Ω且A∩B=?，则称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为A.
④古典概型
(1)古典概型的特点
有限性：样本空间的样本点只有有限个；等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
(2)古典概型事件A的概率
P(A)=事件A的样本点个数样本空间Ω的样本点个数
⑤概率的基本性质
性质1对任意事件A，都有PA≥0
性质2必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0；
性质3若事件A与事件B互斥时，则P(A∪B)=P(A)+P(B).
性质4若事件A与事件B对立事件，则PB=1?PA,PA=1?PB
性质5如果A?B,那么PA≤P(B)
性质6设A,B是一个随机试验中的两个事件，有PA∪B=PA+PB?P(A∩B)
【题型一】对各种事件、事件的关系和运算的理解
【典题1】从5位男生和2位女生共7位同学中任意选派3人，属必然事件的是( )
A．3位都是女生B．至少有1位是女生
C．3位都不是女生D．至少有1位是男生
【解析】由于从5位男生和2位女生共7位同学中任意选派3人，
有3位男生，2位男生1位女生，1位男生2位女生，共三种情况
故A为不可能事件，B，C为随机事件，D为必然事件．
故答案为D
【典题2】从装有十个红球和十个白球的罐子里任取2球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有一个红球；至少有一个白球
B．恰有一个红球；都是白球
C．至少有一个红球；都是白球
D．至多有一个红球；都是红球
【解析】对于A，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于B，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取2个球还有都是红球的情形，故两事件不是对立事件；对于C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；对于D，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件.
【点拨】对立事件是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件.
【典题3】如果事件A，B互斥，记A,B分别为事件A，B的对立事件，那么( )
A．A∪B是必然事件B.A?B是必然事件
C.A与B一定互斥D.A与B一定不互斥
【解析】用Venn图解决此类问题较为直观．如右图所示，A?B是必然事件，故选B.
【点拨】利用集合的关系看事件之间的关系会更直观.
【题型二】求古典概型
【典题1】先后投掷两枚骰子，出现的点数记作(m,n)，设X=m+n．
(1)求m=n的概率；
(2)试列举出X≤6的所有可能的结果;
(3)求X≤3或X>6的概率．
【解析】(Ⅰ)先后投掷两枚骰子，出现的点数情况有：
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，
(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，
(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，
(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，
共有36种可能结果，
而m=n有6结果，为(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)，
(也可以使用树状图
)
所以P(m=n)=636=16，
(Ⅱ)X≤6的所有可能的结果有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5)，
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),
(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(5,1),
共有15种情况，
(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)可知，X≤3的所有可能的结果有3种，为(1,1)、(1,2)、(2,1)，
X>6的所有可能的结果有36?21=15，
p(X≤3或X>6)=336+2136=23
【点拨】根据古典概型事件A的概率P(A)=事件A的样本点个数样本空间Ω的样本点个数，一般都用穷举法，比如列树状图或者把每个样本点一一列举，关键就要做到不重不漏,在一一列举的时候最好能够按照一定的规律进行.
【典题2】任取三个整数，至少有一个数为偶数的概率为.
【解析】方法一任取三个整数，共有八种情况：
其中至少有一个数为偶数的情况有7种，所以所求概率为78=0.875，
方法二任取三个整数，共有八种情况，设“都是奇数”为事件A，“至少有一个数为偶...
