一元二次函数、方程和不等式



1不等式关系与不等式

①不等式的性质

(1)传递性：a>b,b>c?a>c；

(2)加法法则：a>b?a+c>b+c,a>b,c>d?a+c>b+d；

(3)乘法法则：a>b,c>0?ac>bc,a>b,cb,ab>0?1ab>0?an>bn(n∈N?且n>1)；

②比较a,b大小

(1)作差法(a?b与0的比较)

a?b>0→a>b;a?b=0→a=b;a?b1,b>0→a>b;ab>1,b0为例)

函数、方程、表达式

?>0

?=0

?0
的解集

{x|xx2}

{x|x≠?b2a}

R

一元二次不等式

ax2+bx+c0与ab>0均意味a,b同号，故ab>0与ab>0等价的；

ab0?fxgx>0，fxg(x)≥0?fxgx≥0且gx≠0.

比如x?1x?2>0?x?1x?2>0;x?1x?2≥0?x?1x?2≥0且x?2≠0.

②fxg(x)0(或b>c，则下列不等式正确的是( )

A．a+b>cB．1a?cb|c|D．ab2c2+1b>c，

∴A．a+b>c错误，比如?4>?5>?6，得出?4+?5b?c>0，∴1a?cb|c|错误，比如|c|=0时，a|c|=b|c|；

D．∵ab2?a2b=ab(b?a),∴ab(b?a)=0时，ab2=a2b，

∴ab2c2+1=a2bc2+1，∴该选项错误．

故选：B．

【点拨】涉及不等式的选择题，适当利用“取特殊值排除法”会做得更快些.



【典题2】已知a>0，试比较a2+1a2?1与a+1a?1的值的大小．

【解析】a2+1a2?1?a+1a?1=a2+1?(a+1)2a2?1=?2aa2?1，(作差法)

(i)当a>1时，?2a0，则?2aa2?10，即a2+1a2?1>a+1a?1．

综上可得a>1时，a2+1a2?1a+1a?1．

【点拨】比较两个式子的大小，可用做差法或做商法；一般幂的形式比较大小用作商法，比如比较aabb与aba+b2；多项式形式常用做差法，比如比较xy与x+y?1.



【典题3】已知c>1，a=c+1?c，b=c?c?1，则正确的结论是( )

A．abC．a=bD．a与b的大小不确定

【解析】方法一特殊值法

取特殊值，令c=2，则a=3?2，b=2?1，

易知a1，

∴c+1>c－1>0?c+1>c?1?c+1+c>c+c?1>0，

∴1c+1+cab>ab2B．ab2>ab>aC．ab>a>ab2D．ab>ab2>a

【答案】D

【解析】∵－10，b0，ab2－a=a(b2－1)>0．

∴ab>ab2>a．

故选：D．

2(★★)设1bbB．ab2D．1|b|0，a－ba?b，故B错误；

由a1，则b3a3+a3b3>2b3a3?a3b3=2，故C正确；

由1b1|a|，故D错误．

故选：C．

3(★★)已知a,b∈R，且P=a+b2，Q=a2+b22，则P、Q的关系是( )

A．P≥QB．P>QC．P≤QD．PQC．Pa2+8a+7，

∴2a2+8a+15>2a2+8a+7，

∴P2>Q2，且P>0，Q>0，

∴P>Q．

故选B．

5(★★★)设S=aa+b+c+bb+c+d+cc+d+a+dd+a+b,a,b,c,d∈R+，则下列判断中正确的是()

A．0aa+b+c+d+ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d=1

S=aa+b+c+bb+c+d+cc+d+a+dd+a+b0的解集为?10的解集为.

【解析】关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为?10,c=?2a>0，

∴不等式bx2?ax?c>0化为?ax2?ax+2a>0?x2+x?2>0，

即(x?1)(x+2)>0，解得x1；

则该不等式的解集为(?∞,?2)∪(1,+∞)．

【点拨】通过二次函数的图像理解，二次函数、一元二次方程和一元二次不等式三者之间的关系.



【典题2】解关于x的不等式：x?2x+3≥2

【解析】x?2x+3?2≥0?x?2?2x+3x+3≥0??x?8x+3≥0?x+8x+3≤0；

等价变形为：x+8x+3≤0且x+3≠0；(注意分母x+3≠0)

解得?8≤x0的解集为(?∞,1)∪(m,+∞)，则a+m等于( )

A．?1B．1C．2D．3

【答案】D

【解析】由题意知，1和m是方程x2?3ax+2=0的两个根，

则由根与系数的关系，得1+m=3a1×m=2，解得a=1m=2，

所以a+m=3．

故选：D．

3(★★)若不等式ax2+2x+c0，即4?12+a≤01?6+a>0，

解得5?1的解集是.

【答案】?2，3

6(★★)已知不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|α0，则不等式cx2+bx+a>0的解集是.

【答案】(1β,1α)

【解析】不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|α0)，

则α，β是一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，且a0化为cax2+bax+11β>0；

∴不等式cx2+bx+a2}，则a值是.

【答案】a=12

【解析】不等式axx?10,a=0,a0.

【解析】

(不确定不等式对应函数y=ax2+(a+2)x+1是否是二次函数，分a=0与a≠0讨论)

(1)当a=0时，不等式为2x+1>0，解集为{x|x>?12}；

(2)当a≠0时，∵Δ=a+22?4a=a2+4>0

(二次函数y=ax2+(a+2)x+1与x轴必有两个交点)

解得方程ax2+(a+2)x+1=0两根x1=?a?2?a2+42a,x2=?a?2+a2+42a；

(二次函数的开口方向与不等式的解集有关，分a>0与a0时，解集为{x|x>?a?2+a2+42a或x?12}；

当a>0时，解集为{x|x>?a?2+a2+42a或x0.

【解析】∵Δ=a2?16

(此时不确定二次函数y=x2+ax+4是否与x轴有两个交点，对判别式进行讨论)

∴①当?44或a0时，此时两根为x1=?a+a2?162,x2=?a?a2?162，显然x1>x2，

∴不等式的解集为{x|x>?a+a2?162或x4或a?a+a2?162或xx2时，即a>1a??11时，解集为x1a1时，解集为x1a1，则不等式的解为10．

【答案】a>1时，不等式的解集是R，

a=1时，不等式的解集是{x|x≠?1}，

a?1+1?a或x1时，不等式的解集是R，

②当1?a=0，即a=1时，不等式的解集是{x|x≠?1}，

③当1?a>0即a?1+1?a或x1时，不等式的解集是R，

a=1时，不等式的解集是{x|x≠?1}，

a?1+1?a或x0(a∈R)．

【答案】a>4或a?a+a2?164}；

a=±4时，不等式的解集为{x|x≠?a4}；

?40(a∈R)中，

△=a2?4×2×2=a2?16，

当a>4或a0，

对应的一元二次方程有两个实数根x=?a?a2?164和x=?a+a2?164，

且?a?a2?164?a+a2?164}；

当a=±4时，△=0，对应的一元二次方程有两个相等的实数根x=?a4，

∴不等式的解集为{x|x≠?a4}；

当?44或a?a+a2?164}；

a=±4时，不等式的解集为{x|x≠?a4}；?40．

【答案】当a1时，解集是(?∞,?1)∪(?1a,+∞)．

【解析】当a=0时，x>?1．

当a≠0时，a(x+1a)(x+1)>0．

当a0时，(x+1a)(x+1)>0．

当a=1时，x≠?1．

当0?1．

当a>1时，x?1a．

∴当a1时，解集...