2.2 基本不等式 -新教材人教A版必修第一册练习(学生版) 人教版
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基本不等式
1基本不等式
若a>0,b>0，则a+b≥2ab(当且仅当a=b时，等号成立).
①a+b2叫做正数a,b的算术平均数，ab叫做正数a,b的几何平均数.
②基本不等式的几何证明
(当点D、O重合，即a=b时，取到等号)
③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等.
一正指的是a>0,b>0；二定指的是ab是个定值，三等指的是不等式中取到等号.
2基本不等式及其变形
21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22(当且仅当a=b时等号成立)
(调和均值≤几何均值≤算术均值≤平方均值)
以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用.
①a+b≥2ab，积定求和；
②ab≤a+b22，和定求积：
③a2+b2≥a+b22(联系了a+b与平方和a2+b2)
④ab≤a2+b22(联系了ab与平方和a2+b2)
3对勾函数
①概念形如y=x+ax(a>0)的函数.
②图像
③性质
函数图像关于原点对称，
在第一象限中，当0a时，函数递增.
④与基本不等式的关系
由图很明显得知当x>0时，x=a时取到最小值ymin=2a，
其与基本不等式x+ax≥2x?ax=2a(x=a时取到最小值)是一致的.
【题型一】对基本不等式“一正，二定，三等”的理解
情况1一正：a>0,b>0
求函数y=x+1x(x1)的最值.
情况3三等：取到等号
求函数y=x2+5x2+4的最值.
【题型二】基本不等式运用的常见方法
方法1直接法
【典题1】设x>0、y>0、z>0，则三个数1x+4y、1y+4z、1z+4x( )
A．都大于4B．至少有一个大于4
C．至少有一个不小于4D．至少有一个不大于4
【典题2】设x>0,y>0，下列不等式中等号能成立的有( )
①(x+1x)(y+1y)≥4；②(x+y)(1x+1y)≥4；
③x2+9x2+5≥4；④x+y+2xy≥4；
A．1个B．2个C．3个D．4个
【典题3】已知实数a，b满足ab>0，则aa+b?aa+2b的最大值为.
方法2凑项法
【典题1】若x>1，则函数y=4x+1x?1的最小值为.
【典题2】若x>1，则2x+9x+1+1x?1的最小值是．
【典题3】设a>b>0，则ab+4b2+1b(a?b)的最小值是．
方法3凑系数
【典题1】若00，y>0，x+y=2，则x+y的最大值是．
【典题2】已知x>0，y>0，且2x+1y=2，则x+2y的最小值是．
【典题3】设a>2，b>0，若a+b=3，则1a?2+1b的最小值为．
方法5换元法
【典题1】若x>1，则y=x?1x2+x?1的最大值为.
【典题1】若a,b∈R?，a+b=1，则a+12+b+12的最大值.
【典题2】设a、b是正实数，且a+2b=2，则a2a+1+4b22b+1的最小值是.
方法6不等式法
【典题1】已知a,b∈(0,+∞)，且1+2ab=9a+b，则a+b的取值范围是.
【典题2】已知2a+b+2ab=3，a>0，b>0，则2a+b的取值范围是.
巩固练习
1(★★)已知a+b+c=2，则ab+bc+ca与2的比较．
2(★★)已知x，y∈R+，若x+y+xy=8，则xy的最大值为．
3(★★)若x，y∈R+，且3x+1y=5，则3x+4y的最小值是．
4(★★)函数y=x2+x?5x?2(x>2)的最小值为．
5(★★)已知实数a、b,ab>0，则aba2+b2+a2b2+4的最大值为．
6(★★)[多选题]下列说法正确的是( )
A．x+1x(x>0)的最小值是2B．x2+2x2+2的最小值是2
C．x2+5x2+4的最小值是2D．2?3x?4x的最大值是2?43
7(★★★)[多选题]设a>0，b>0，且a+2b=4，则下列结论正确的是( )
A．1a+1b的最小值为2B．2a+1b的最小值为2
C．1a+2b的最小值为94D．ba+1+ab+1>87恒成立
8(★★★)若实数m，n>0，满足2m+n=1，以下选项中正确的有( )
A．mn的最小值为18B．1m+1n的最小值为42
C．2m+1+9n+2的最小值为5D．4m2+n2的最小值为12
9(★★★)已知正实数a，b满足a+b=1，则2a2+1a+2b2+4b的最小值为．
10(★★★)若正数x、y满足x+4y?xy=0，则4x+y的最大值为．
11(★★★)已知00，b>－2，且满足2a+b=1，则2a2+1a+b2?2b+2的最小值是．
15(★★★★)已知x>0，y>0，则2xyx2+8y2+xyx2+2y2的最大值是．
16(★★★★)设实数x,y满足x24?y2=1，则3x2?2xy的最小值是.
挑战学霸
方程x2018+11+x2+x4+…+x2016=2018x2017的实数解的个数为．
1基本不等式
若a>0,b>0，则a+b≥2ab(当且仅当a=b时，等号成立).
①a+b2叫做正数a,b的算术平均数，ab叫做正数a,b的几何平均数.
②基本不等式的几何证明
(当点D、O重合，即a=b时，取到等号)
③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等.
一正指的是a>0,b>0；二定指的是ab是个定值，三等指的是不等式中取到等号.
2基本不等式及其变形
21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22(当且仅当a=b时等号成立)
(调和均值≤几何均值≤算术均值≤平方均值)
以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用.
①a+b≥2ab，积定求和；
②ab≤a+b22，和定求积：
③a2+b2≥a+b22(联系了a+b与平方和a2+b2)
④ab≤a2+b22(联系了ab与平方和a2+b2)
3对勾函数
①概念形如y=x+ax(a>0)的函数.
②图像
③性质
函数图像关于原点对称，
在第一象限中，当0a时，函数递增.
④与基本不等式的关系
由图很明显得知当x>0时，x=a时取到最小值ymin=2a，
其与基本不等式x+ax≥2x?ax=2a(x=a时取到最小值)是一致的.
【题型一】对基本不等式“一正，二定，三等”的理解
情况1一正：a>0,b>0
求函数y=x+1x(x1)的最值.
情况3三等：取到等号
求函数y=x2+5x2+4的最值.
【题型二】基本不等式运用的常见方法
方法1直接法
【典题1】设x>0、y>0、z>0，则三个数1x+4y、1y+4z、1z+4x( )
A．都大于4B．至少有一个大于4
C．至少有一个不小于4D．至少有一个不大于4
【典题2】设x>0,y>0，下列不等式中等号能成立的有( )
①(x+1x)(y+1y)≥4；②(x+y)(1x+1y)≥4；
③x2+9x2+5≥4；④x+y+2xy≥4；
A．1个B．2个C．3个D．4个
【典题3】已知实数a，b满足ab>0，则aa+b?aa+2b的最大值为.
方法2凑项法
【典题1】若x>1，则函数y=4x+1x?1的最小值为.
【典题2】若x>1，则2x+9x+1+1x?1的最小值是．
【典题3】设a>b>0，则ab+4b2+1b(a?b)的最小值是．
方法3凑系数
【典题1】若00，y>0，x+y=2，则x+y的最大值是．
【典题2】已知x>0，y>0，且2x+1y=2，则x+2y的最小值是．
【典题3】设a>2，b>0，若a+b=3，则1a?2+1b的最小值为．
方法5换元法
【典题1】若x>1，则y=x?1x2+x?1的最大值为.
【典题1】若a,b∈R?，a+b=1，则a+12+b+12的最大值.
【典题2】设a、b是正实数，且a+2b=2，则a2a+1+4b22b+1的最小值是.
方法6不等式法
【典题1】已知a,b∈(0,+∞)，且1+2ab=9a+b，则a+b的取值范围是.
【典题2】已知2a+b+2ab=3，a>0，b>0，则2a+b的取值范围是.
巩固练习
1(★★)已知a+b+c=2，则ab+bc+ca与2的比较．
2(★★)已知x，y∈R+，若x+y+xy=8，则xy的最大值为．
3(★★)若x，y∈R+，且3x+1y=5，则3x+4y的最小值是．
4(★★)函数y=x2+x?5x?2(x>2)的最小值为．
5(★★)已知实数a、b,ab>0，则aba2+b2+a2b2+4的最大值为．
6(★★)[多选题]下列说法正确的是( )
A．x+1x(x>0)的最小值是2B．x2+2x2+2的最小值是2
C．x2+5x2+4的最小值是2D．2?3x?4x的最大值是2?43
7(★★★)[多选题]设a>0，b>0，且a+2b=4，则下列结论正确的是( )
A．1a+1b的最小值为2B．2a+1b的最小值为2
C．1a+2b的最小值为94D．ba+1+ab+1>87恒成立
8(★★★)若实数m，n>0，满足2m+n=1，以下选项中正确的有( )
A．mn的最小值为18B．1m+1n的最小值为42
C．2m+1+9n+2的最小值为5D．4m2+n2的最小值为12
9(★★★)已知正实数a，b满足a+b=1，则2a2+1a+2b2+4b的最小值为．
10(★★★)若正数x、y满足x+4y?xy=0，则4x+y的最大值为．
11(★★★)已知00，b>－2，且满足2a+b=1，则2a2+1a+b2?2b+2的最小值是．
15(★★★★)已知x>0，y>0，则2xyx2+8y2+xyx2+2y2的最大值是．
16(★★★★)设实数x,y满足x24?y2=1，则3x2?2xy的最小值是.
挑战学霸
方程x2018+11+x2+x4+…+x2016=2018x2017的实数解的个数为．
