基本不等式



1基本不等式

若a>0,b>0，则a+b≥2ab(当且仅当a=b时，等号成立).

①a+b2叫做正数a,b的算术平均数，ab叫做正数a,b的几何平均数.

②基本不等式的几何证明

(当点D、O重合，即a=b时，取到等号)

③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等.

一正指的是a>0,b>0；二定指的是ab是个定值，三等指的是不等式中取到等号.

2基本不等式及其变形

21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22(当且仅当a=b时等号成立)

(调和均值≤几何均值≤算术均值≤平方均值)

以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用.

①a+b≥2ab，积定求和；

②ab≤a+b22，和定求积：

③a2+b2≥a+b22(联系了a+b与平方和a2+b2)

④ab≤a2+b22(联系了ab与平方和a2+b2)

3对勾函数

①概念形如y=x+ax(a>0)的函数.

②图像



③性质

函数图像关于原点对称，

在第一象限中，当0a时，函数递增.

④与基本不等式的关系

由图很明显得知当x>0时，x=a时取到最小值ymin=2a，

其与基本不等式x+ax≥2x?ax=2a(x=a时取到最小值)是一致的.





【题型一】对基本不等式“一正，二定，三等”的理解

情况1一正：a>0,b>0

求函数y=x+1x(x0,b>0的前提条件！

【正解】∵x0,?1x>0，

∴?x+?1x≥2?x??1x=2(当x=?1取到等号)

∴x+1x=??x?1x≤?2，

故函数y=x+1x(x1)的最值.

【误解】y=x+1x?1≥2x?1x?1

【误解分析】套用基本不等式a=x,b=1x?1，满足a、b均为正数，但是最后求不出最值，因为ab=x?1x?1不是一定值.

【正解】y=x+1x?1=x?1+1x?1+1≥2x?1?1x?1+1=3.(当x=2时取到等号)

(通过凑项得到定值“x?1?1x?1=1”)

故函数y=x+1x?1(x>1)的最小值为2，没有最大值.

情况3三等：取到等号

求函数y=x2+5x2+4的最值.

【误解】y=x2+5x2+4=x2+4+1x2+4=x2+4+1x2+4≥2x2+4?1x2+4=2，即最小值为2.

【误解分析】在误解中把a=x2+4,b=1x2+4，满足了“一正二定”，但忽略了能否取到等号？若a=b，则x2+4=1x2+4?x2+4=1?x2=?3显然方程无解，即不等式取不到等号，只能说明x2+4+1x2+4>2，那它有最小值么？

【正解】y=x2+5x2+4=x2+4+1x2+4=x2+4+1x2+4，令t=x2+4，则t≥2，

因为对勾函数y=t+1t在[2,+∞)上单调递增，当t=2时，取得最小值52.

故y=x2+5x2+4的最小值为52，无最大值.



【题型二】基本不等式运用的常见方法

方法1直接法

【典题1】设x>0、y>0、z>0，则三个数1x+4y、1y+4z、1z+4x( )

A．都大于4B．至少有一个大于4

C．至少有一个不小于4D．至少有一个不大于4

【解析】假设三个数1x+4y0,y>0，下列不等式中等号能成立的有( )

①(x+1x)(y+1y)≥4；②(x+y)(1x+1y)≥4；

③x2+9x2+5≥4；④x+y+2xy≥4；

A．1个B．2个C．3个D．4个

【解析】∵x>0，y>0，∴x+1x≥2,y+1y≥2，当x=y=1时取到"="，所以①成立，

x+y1x+1y=2+xy+yx≥4，当x=y时取到"="，显然②成立，

x2+5+4x2+5=x2+5+4x2+5，运用基本不等式不能取等号，此时x2+5=4，显然不成立，

x+y+2xy≥2xy+2xy≥4，当x=y=1时成立，

故正确的有三个，故选：C．

【点拨】

①直接使用基本不等式求解最值时，一是要做到“一正二定三等”，二是要选择适当的式子充当"a,b".

②连等问题

本题中④x+y+2xy≥2xy+2xy≥4，当x=y=1时成立，

这里连续用到基本不等式，这要注意连等问题，即要确定两个等号是否能同时取到，

x+y≥2xy是当x=y时取到等号，2xy+2xy≥4是当xy=1时取到等号，

即要同时满足方程组x=yxy=1(?)才行，而方程组(?)有解x=y=1，

即x+y+2xy≥4是成立的，当x=y=1取到等号.

再看一例子：设x,y∈R?,x+y=1，求(x+1x)(y+1y)的最小值.

误解1：∵x+1x≥2,y+1y≥2，∴x+1xy+1y≥4.

误解2：∵x+1xy+1y=xy+1xy+xy+yx≥2xy?1xy+2xy?yx=4.

以上两种解法问题在哪里呢？



【典题3】已知实数a，b满足ab>0，则aa+b?aa+2b的最大值为.

【解析】aa+b?aa+2b=aa+2b?a?ba+ba+2b=aba2+3ab+2b2=1ab+2ba+3(分子、分母均为二次项同除ab)

∵ab>0∴ab+2ba≥22，当且仅当ab=2ba?a=2b时取等号，

∴1ab+2ba+3≤122+3=3?22，故最大值为3?22．

【点拨】要用基本不等式的直接法求解需要寻找“乘积为定值的两个式子”，比如x与1x，ab与2ba，2xy与2xy之类的.



方法2凑项法

【典题1】若x>1，则函数y=4x+1x?1的最小值为.

【解析】y=4x+1x?1=4x?1+1x?1+4≥24+4=8，当且仅当x=32时取等号．

∴函数y=4x+1x?1的最小值为8．

【点拨】把4x凑项成4x?1，目的是使得4x?1与1x?1的乘积为定值.



【典题2】若x>1，则2x+9x+1+1x?1的最小值是．

分析：2x、9x+1、1x?1三项都不能乘积为定值，而与9x+1、1x?1乘积为定值的分别是x+1与

x?1，而它们的和刚好是2x，故想到令2x=(x+1)+x?1，完成凑项.

【解析】

2x+9x+1+1x?1=x+1+9x+1+x?1+1x?1≥2(x+1)?9(x+1)+2(x?1)?(1x?1)=8

当且仅当x+1=3，x－1=1，即x=2时取等号，

(用了两次基本不等式，要注意是否能同时取到等号)

故2x+9x+1+1x?1的最小值是8.



【典题3】设a>b>0，则ab+4b2+1b(a?b)的最小值是．

【解析】∵a>b>0∴a?b>0；

∴ab+4b2+1ba?b

=ab?b2+1b(a?b)+b2+4b2(这里巧妙地"?b2+b2"完成凑项)

=ba?b+1ba?b+[b2+4b2]≥2b(a?b)×1b(a?b)+2b2×4b2=2+4=6．

当且即当b(a?b)=1b(a?b)且b2=4b2，即a=322,b=2时取等号，

∴ab+4b2+1b(a?b)的最小值为6．

【点拨】凑项的目的是使得“ab为定值”，它需要一定的技巧！本题观察到4b2、1b(a?b)的分母之和b2+ba?b=ab，刚好是所求式子的第三项ab.



方法3凑系数

【典题1】若00且1?2a>0，

则a1?2a=2a1?2a2≤122a+1?2a22=18，