3.1函数的概念及其表示方法-新教材人教A版必修第一册练习(学生版) 人教版
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文件简介::
函数的概念及其表示方法
一函数的概念
1概念
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x),x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合fxx∈A}叫做函数的值域．
2定义域
①概念函数自变量x的取值范围.
②求函数的定义域主要应考虑以下几点
(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1；
(5)指数为零底不可以等于零；(6)抽象函数的定义域较为复杂.
3值域
①概念函数值y的取值范围
②求值域的方法
(1)配方法(2)数形结合(3)换元法
(4)函数单调性法(5)分离常数法(6)基本不等式法
4区间
实数集R表示为(?∞,+∞).
二函数的表示方法
1表格法
如上表，我们很容易看到y与r之间的函数关系.
在初中刚学画一次函数图像时，第一步就是列表，其实就是用表格法表示一次函数.
2图像法
如上图，很清晰的看到某天空气质量指数I与时间t两个变量之间的关系，特别是其趋势.
数学中的“数形结合”也就是这回事，它是数学一大思想，在高中解题中识图和画图尤为重要.
3解析式
求函数解析式的方法
(1)配凑法(2)待定系数法(3)换元法(4)构造方程组法(5)代入法
【题型一】函数概念的理解
【典题1】设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出如下四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是()
【典题2】给定的下列四个式子中，能确定y是x的函数的是( )
①x2+y2=1②|x－1|+y2?1=0
③x?1+y?1=1④y=x?2+1?x．
A．①B．②C．③D．④
【题型二】求函数的定义域
【典题1】函数y=?x2+2x+3x的定义域是.
【典题2】下列各组函数中表示的函数不同的是( )
A．f(x)=x,g(x)=3x3B．f(x)=x2,g(x)=|x|
C．fx=x2?3x,gt=t2?3tD．f(x)=x2?4x?2,g(x)=x+2
【典题3】已知fx2?1定义域为[0,3]，求f(2x?1)的定义域.
【题型三】求函数的值域
方法1配方法
【典题1】求函数y=5x2?4x+1x2在区间x∈[14,1]的值域.
方法2数形结合
【典题2】求函数fx=2x?x2,(0≤x≤3)x2+6x,(?2≤x≤0)的值域.
方法3换元法
【典题3】求函数fx=2x+1?x的值域.
【典题4】函数f(x)=?9?x+(13)x?1+34在[?1,+∞)上的值域为．
方法4函数单调性法
【典题5】函数f(x)=2x2?2x+3,x∈[0,3]的值域为.
方法5分离常数法
【典题6】求函数fx=2x2?1x2+1的值域.
方法6基本不等式法(对勾函数法)
【典题7】求函数f(x)=x2+4x+1x2+1(x≥0)的值域.
巩固练习
1(★)函数y=f(x?1)与函数y=f(x+1)( )
A．是同一个函数B．定义域相同C．图象重合D．值域相同
2(★)函数f(x)=?x2+4x+12+1x?4的定义域为.
3(★★)已知函数f(x+1)定义域为[1,4]，则函数f(x－1)的定义域为.
4(★★)函数y=2??x2+4x的值域是为.
5(★★)函数y=x?1+x+1,(x≥1)的值域为.
6(★★)函数f(x)=x?1x+3(x≥1)的值域为.
7(★★)函数y=4x+2x+1+3的值域为.
8(★★★)求函数y=2x2?x+12x?1(x>12)的值域.
【题型四】分段函数
【典题1】设函数f(x)=x2+2(x≤2)2x(x>2)，若f(x0)=8，则x0=．
【典题２】已知函数f(x)=x2?6x+6,x≥03x+4,x0),求f(x)的解析式.
方法2待定系数法
【典题２】已知函数f(x)是二次函数，若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1，求f(x)的解析式．
方法3换元法
【典题３】已知f(x+1)=x+2x,求f(x+1).
方法4构造方程组法
【典题４】设f(x)满足f(x)?2f(1x)=x,求f(x)的解析式.
方法5代入法
【典题５】与函数y=x2?3x+2的图象关于点(0,1)对称的函数是.
巩固练习
1(★)已知函数y=x2+1(x≤0)2x(x>0)，若f(a)=10，则a的值是．
2(★★)已知函数f(x)=(2a?1)x+7a?2(x<1)ax(x≥1)在(?∞,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围为
3(★★)已知一次函数f(x)满足条件f(x+1)+f(x)=2x，则函数f(x)的解析式为．
4(★★)已知f(x)=x2?2x，则函数f(x)的解析式为．
5(★★★)已知f(0)=1，对于任意实数x,y，等式f(x?y)=f(x)?y(2x?y+1)，求f(x)的解析式.
一函数的概念
1概念
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x),x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合fxx∈A}叫做函数的值域．
2定义域
①概念函数自变量x的取值范围.
②求函数的定义域主要应考虑以下几点
(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1；
(5)指数为零底不可以等于零；(6)抽象函数的定义域较为复杂.
3值域
①概念函数值y的取值范围
②求值域的方法
(1)配方法(2)数形结合(3)换元法
(4)函数单调性法(5)分离常数法(6)基本不等式法
4区间
实数集R表示为(?∞,+∞).
二函数的表示方法
1表格法
如上表，我们很容易看到y与r之间的函数关系.
在初中刚学画一次函数图像时，第一步就是列表，其实就是用表格法表示一次函数.
2图像法
如上图，很清晰的看到某天空气质量指数I与时间t两个变量之间的关系，特别是其趋势.
数学中的“数形结合”也就是这回事，它是数学一大思想，在高中解题中识图和画图尤为重要.
3解析式
求函数解析式的方法
(1)配凑法(2)待定系数法(3)换元法(4)构造方程组法(5)代入法
【题型一】函数概念的理解
【典题1】设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出如下四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是()
【典题2】给定的下列四个式子中，能确定y是x的函数的是( )
①x2+y2=1②|x－1|+y2?1=0
③x?1+y?1=1④y=x?2+1?x．
A．①B．②C．③D．④
【题型二】求函数的定义域
【典题1】函数y=?x2+2x+3x的定义域是.
【典题2】下列各组函数中表示的函数不同的是( )
A．f(x)=x,g(x)=3x3B．f(x)=x2,g(x)=|x|
C．fx=x2?3x,gt=t2?3tD．f(x)=x2?4x?2,g(x)=x+2
【典题3】已知fx2?1定义域为[0,3]，求f(2x?1)的定义域.
【题型三】求函数的值域
方法1配方法
【典题1】求函数y=5x2?4x+1x2在区间x∈[14,1]的值域.
方法2数形结合
【典题2】求函数fx=2x?x2,(0≤x≤3)x2+6x,(?2≤x≤0)的值域.
方法3换元法
【典题3】求函数fx=2x+1?x的值域.
【典题4】函数f(x)=?9?x+(13)x?1+34在[?1,+∞)上的值域为．
方法4函数单调性法
【典题5】函数f(x)=2x2?2x+3,x∈[0,3]的值域为.
方法5分离常数法
【典题6】求函数fx=2x2?1x2+1的值域.
方法6基本不等式法(对勾函数法)
【典题7】求函数f(x)=x2+4x+1x2+1(x≥0)的值域.
巩固练习
1(★)函数y=f(x?1)与函数y=f(x+1)( )
A．是同一个函数B．定义域相同C．图象重合D．值域相同
2(★)函数f(x)=?x2+4x+12+1x?4的定义域为.
3(★★)已知函数f(x+1)定义域为[1,4]，则函数f(x－1)的定义域为.
4(★★)函数y=2??x2+4x的值域是为.
5(★★)函数y=x?1+x+1,(x≥1)的值域为.
6(★★)函数f(x)=x?1x+3(x≥1)的值域为.
7(★★)函数y=4x+2x+1+3的值域为.
8(★★★)求函数y=2x2?x+12x?1(x>12)的值域.
【题型四】分段函数
【典题1】设函数f(x)=x2+2(x≤2)2x(x>2)，若f(x0)=8，则x0=．
【典题２】已知函数f(x)=x2?6x+6,x≥03x+4,x0),求f(x)的解析式.
方法2待定系数法
【典题２】已知函数f(x)是二次函数，若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1，求f(x)的解析式．
方法3换元法
【典题３】已知f(x+1)=x+2x,求f(x+1).
方法4构造方程组法
【典题４】设f(x)满足f(x)?2f(1x)=x,求f(x)的解析式.
方法5代入法
【典题５】与函数y=x2?3x+2的图象关于点(0,1)对称的函数是.
巩固练习
1(★)已知函数y=x2+1(x≤0)2x(x>0)，若f(a)=10，则a的值是．
2(★★)已知函数f(x)=(2a?1)x+7a?2(x<1)ax(x≥1)在(?∞,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围为
3(★★)已知一次函数f(x)满足条件f(x+1)+f(x)=2x，则函数f(x)的解析式为．
4(★★)已知f(x)=x2?2x，则函数f(x)的解析式为．
5(★★★)已知f(0)=1，对于任意实数x,y，等式f(x?y)=f(x)?y(2x?y+1)，求f(x)的解析式.
