函数的概念及其表示方法



一函数的概念

1概念

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x),x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合fxx∈A}叫做函数的值域．

2定义域

①概念函数自变量x的取值范围.

②求函数的定义域主要应考虑以下几点

(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1；

(5)指数为零底不可以等于零；(6)抽象函数的定义域较为复杂.

3值域

①概念函数值y的取值范围

②求值域的方法

(1)配方法(2)数形结合(3)换元法

(4)函数单调性法(5)分离常数法(6)基本不等式法

4区间



实数集R表示为(?∞,+∞).

二函数的表示方法

1表格法



如上表，我们很容易看到y与r之间的函数关系.

在初中刚学画一次函数图像时，第一步就是列表，其实就是用表格法表示一次函数.

2图像法



如上图，很清晰的看到某天空气质量指数I与时间t两个变量之间的关系，特别是其趋势.

数学中的“数形结合”也就是这回事，它是数学一大思想，在高中解题中识图和画图尤为重要.

3解析式

求函数解析式的方法

(1)配凑法(2)待定系数法(3)换元法(4)构造方程组法(5)代入法





【题型一】函数概念的理解

【典题1】设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出如下四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是()



【解析】(本题相当把M={x|0≤x≤2}看成定义域，N={y|0≤y≤2}看成值域)

图象A不满足条件，因为当10时，00)的图像求解也可以)

∴函数f(x)=x2+4x+1x2+1(x≥0)的值域为[1,3]．

【点拨】利用基本不等式法(对勾函数法)能处理二次分式函数y=dx2+ex+fax2+bx+c的值域.



巩固练习

1(★)函数y=f(x?1)与函数y=f(x+1)( )

A．是同一个函数B．定义域相同C．图象重合D．值域相同

【答案】D

【解析】由于函数y=f(x－1)中x－1的范围与函数y=f(x+1)中x+1的范围相同，且两个函数具有相同的对应关系f，

故函数y=f(x－1)与函数y=f(x+1)具有相同的值域，

故选：D．

2(★)函数f(x)=?x2+4x+12+1x?4的定义域为.

【答案】[?2,4)∪(4,6]

【解析】解?x2+4x+12≥0x?4≠0得，－2≤x≤6，且x≠4；

∴f(x)的定义域为：[－2,4)∪(4,6]．

3(★★)已知函数f(x+1)定义域为[1,4]，则函数f(x－1)的定义域为.

【答案】[3,6]

【解析】∵f(x+1)的定义域为[1,4]；∴1≤x≤4；∴2≤x+1≤5；

∴f(x)的定义域为[2,5]；

∴f(x－1)满足：2≤x－1≤5；∴3≤x≤6；

∴f(x－1)的定义域为[3,6]．

4(★★)函数y=2??x2+4x的值域是为.

【答案】0,2

【解析】∵0≤－x2+4x≤4，∴0≤?x2+4x≤2，

∴0≤2??x2+4x≤2，

故函数y=2??x2+4x的值域是[0,2]．

5(★★)函数y=x?1+x+1,(x≥1)的值域为.

【答案】2,+∞

【解析】函数y=x?1+x+1显然在x≥1上是增函数，所以函数值域为[2,+∞].

6(★★)函数f(x)=x?1x+3(x≥1)的值域为.

【答案】[0,1)

【解析】f(x)=x+3?4x+3=x+3x+3?4x+3=1?4x+3，

则当x≥1时，f(x)为增函数，

则f(1)≤f(x)＜1，即0≤f(x)＜1，

即函数的值域为[0,1)．

7(★★)函数y=4x+2x+1+3的值域为.

【答案】(3,+∞)

【解析】令t=2x(t>0)，

∴函数y=4x+2x+1+3(x∈R)化为f(t)=t2+2t+3=t+12+2(t>0),

∴f(t)>3，即函数y=4x+2x+1+3的值域为(3,+∞)．

8(★★★)求函数y=2x2?x+12x?1(x>12)的值域.

【答案】[12+2,+∞)

【解析】y=2x2?x+12x?1=x(2x?1)+12x?1=x+12x?1=x?12+12x?1+12

∵x>12，∴x?12>0

∴x?12+12x?12≥2x?12×12x?12=2

当且仅当x?12=12x?12时，即x=1+22时等号成立，∴y≥2+12，

所以原函数的值域为[12+2,+∞).



【题型四】分段函数

【典题1】设函数f(x)=x2+2(x≤2)2x(x>2)，若f(x0)=8，则x0=．

【解析】由题意，得

①当x0≤2时，有x02+2=8，解之得x0=±6，

而6>2不符合，所以x0=?6；

②当x0>2时，有2x0=8，解之得x0=4．

综上所述，得x0=4或?6．



【典题２】已知函数f(x)=x2?6x+6,x≥03x+4,x0),求f(x)的解析式.

【解析】∵x>0∴x+1x≥2

∵fx+1x=x+1x2?2,∴f(x)=x2?2(x≥2)(注意函数的定义域)

【点拨】本题主要是观察到x+1x与x2+1x2之间存在“完成平方”的关系.



方法2待定系数法

【典题２】已知函数f(x)是二次函数，若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1，求f(x)的解析式．

【解析】依题意可设fx=ax2+bx+c(a≠0)，

若f(0)=0，且f(x+1)=f(x)+x+1，

∴c=0且ax+12+bx+1+c=ax2+bx+c+x+1

即c=0且2a+bx+a+b+c=b+1x+c+1，

∴c=02a+b=b+1a+b+c=c+1，解得a=12,b=12,c=0．

∴f(x)=x2+x2；

【点拨】当函数的类型已知，利用待定系数法可求函数解析式.



方法3换元法

【典题３】已知f(x+1)=x+2x,求f(x+1).

【解析】令t=x+1，则t≥1,x=t?12，

∵f(x+1)=x+2x

∴f(t)=t?12+2(t?1)=t2?1，∴fx=x2?1(x≥1)

∴fx+1=x+12?1=x2+2x(x≥0).

【点拨】

用换元法时注意新变量的取值范围.

②用配凑法fx+1=x+2x=x+12?1?fx=x2?1(x≥1)，但要求观察力足够好.



方法4构造方程组法

【典题４】设f(x)满足f(x)?2f(1x)=x,求f(x)的解析式.

【解析】∵f(x)?2f(1x)=x①

显然x≠0，将x换成1x，得：f(1x)?2f(x)=1x②

解①②联立的方程组，得：f(x)=?x3?23x.



方法5...