函数的单调性



1函数单调性的概念

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，区间D∈I:

如果?x1,x2∈D，当x1f(x2)，那么就说f(x)在区间D上单调递减(图②).特别地，当函数f(x)在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.



Eg：y=1x在(0,+∞)上单调递减，但它不是减函数，

特别注意它的减区间是0,+∞,(?∞,0)，不是0,+∞∪(?∞,0).

2单调性概念的拓展

①若y=f(x)递增，x2>x1，则fx2>f(x1).

比如：y=f(x)递增，则f(a2)≥f(0).

②若y=f(x)递增，fx2≥f(x1)，则x2≥x1.

比如：y=f(x)递增,f(1?m)≥f(n),则1?m≥n.

y=f(x)递减，有类似结论！

3判断函数单调性的方法

①定义法

解题步骤

(1)任取x1,x2∈D，且x1f(?a)+f(?b)

【解析】∵a＋b≤0,∴a≤?b,b≤?a

又∵函数fx在R上是增函数，∴fa≤f?b,fb≤f?a．

∴f(a)＋f(b)≤f(?a)＋f(－b)．故选C.

【典题2】已知函数f(x)在R上是单调函数，且对任意x∈R，都有f(fx?2x)=3，

则f(3)的值等于.

【解析】∵函数f(x)在R上是单调函数

∴可设fx?2x=t(t是个常数)，则f(x)=2x+t；

∴ft=2t+t=3；

∵f(t)在R上单调递增，∴只有t=1时对应的函数值是3，即f(1)=3；

∴f(x)=2x+1；∴f(3)=9．

【点拨】函数若是单调函数，即函数是“一一对应”的关系，一个x对应一个y，所以题目中“f(x)－2x”只能是个常数.



巩固练习

1(★★)设a∈R，函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数，则( )

A．f(a2+a+2)>f(74)B．f(a2+a+2)1?1?4x1x20?y1>y2,故函数单调递减；

(2)假如24?4x1x20,

又x1?x20，

则y＝－f(x)在R上为减函数，D正确；

故选：D．

3(★)函数f(x)=x|x?2|的递减区间为．

【答案】(1,2)

【解析】当x≥2时，f(x)＝x(x－2)＝x2－2x，对称轴为x＝1，此时f(x)为增函数，

当x0；②g(x)为减函数，gxf(a?1)，则实数a的取值范围是.

【解析】∵y=(12)x和y=?x3在R上都单调递减，

∴f(x)=(12)x?x3在R上都单调递减，

∴由f(2a+1)>f(a－1)得，2a+1f(a－1)”这样的不等式，可利用函数的单调性去掉"f"求解，不要硬代入原函数来个“暴力求解”，特别fx是复杂的函数或者抽象函数的时候.



角度2求参数取值范围或值

【典题2】若f(x)=ax2+1,x≥0(a2?1)?2ax,x0

∵x0，得a1，

综上实数a的取值范围是10，得a1

综上实数a的取值范围是a≤?2；

综上所述，得a∈(?∞,?2]∪(1,2].

【点拨】遇到分段函数，注意分离讨论和数形结合“双管齐下”方能一击制敌.



角度3求函数最值

【典题3】已知函数fx=ax2?|x?a|．

(1)当a=1时，求f(x)的值域；

(2)当a>0时，求函数f(x)在区间[0,+∞)上的最小值．

【解析】(1)a=1时，fx=x2?x?1=x2?x+1,x≥1x2+x?1,x0，

(对于分段函数，多结合图像进行分析，比较对称轴x=12a与a的大小)

(i)当12a≤a即a≥22时，f(x)在[a,+∞)单调递增，

∴fx≥fa=a3>f0=?a，

∴fxmin=f0=?a．

(ii)当12a>a，即00a1≤?1+3a，解得a≥12，

故答案为：[12，+∞)．

3(★★)若函数fx=x2?2ax+1?a在[0,2]上的最小值为?1．则a=．

【答案】1

【解析】函数fx＝x2－2ax+1－a图象的对称轴为x＝a，图象开口向上，

(1)当a≤0时，函数f(x)在[0，2]上单调递增．则fxmin＝f(0)＝1－a，

由1－a＝－1，得a＝2，不符合a≤0；

(2)当0?a2)?x?a?1，(1≤x≤?a2)?3x?a+1，(x－2时，f(x)＝|x－1|+|2x+a|=3x+a?1，(x>1)x+a+1，(?a2≤x≤1)?3x?a+1，(xx2>0，

则f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)－(ax1?ax2)＝(x1－x2)(ax1x2+2)．

∵1≥x1>x2>0，∴x1－x2>0，x1x2>0

∴f(x1)>f(x2)，

∴f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，

当x＝1时取得最大值1，所以f(x)的值域为(－∞，1]．

(2)当a≥0时，y＝f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，

当x＝1时取得最大值2－a；

当a1，f(x)x2>0，则f(x1)－f(x2)=f(x2?x1x2)－f(x2)=f(x1x2)，(定义法证明)

∵x1>x2>0；∴x1x2>1；

又x>1时，f(x)0x2?kx+1>02kx≤x2?kx+1?k>0k0kx2再根据题意“凑出”fx1?f(x2)，证明其大于0或者小于0;

(2)作商法令x1>x2再根据题意“凑出”fx1fx2，证明其大于1或者小于1，此时还要注意fx>0是否成立；

③涉及抽象函数，解类似“fkx－fx2－kx+1≥1”这样的不等式，都要利用函数的单调性去掉“f”;

④恒成立问题可用分离参数法，最终转化为最值问题，如x2?kx+1>0(x>0)恒成立等价于k0)，即求fx=x+1x在(0,+∞)上的最小值.



巩固练习

1(★★★)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足下面三个条件：

①对任意正数a,b，都有f(a)+f(b)=f(ab)；②当x>1时，f(x)f(18x)的x的取值集合．

【答案】(1)f(1)=0f(14)=2(2)略，提示：定义法(3)x∈(3,6)

【解析】(1)令x＝y＝1得f(1)＝f(1)+f(1)，则f(1)＝0，

而f(4)＝f(2)+f(2)＝－1－1＝－2，

且f(4)+f(14)＝f(1)＝0，则f(14)＝2；

(2)取定义域中的任意的x1，x2，且01，

当x>1时，f(x)f(18x)，∴f(4x3－12x2)+f(14)>f(18x)，

∴f(x3－3x2)>f(18x)，

∴x3?3x2>018x>0x3?3x2<18x，解得3
故x的取值集合为(3，6).