函数的奇偶性



1函数奇偶性的概念

①一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果?x∈I，都有?x∈I，且f(?x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.

②一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果?x∈I，都有?x∈I，且f(?x)=?f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.

由奇偶函数的概念可知道其定义域I是关于原点对称的.

2性质

①偶函数关于y轴对称；

②奇函数关于原点对称；

③若奇函数f(x)定义域内含有0，则f(0)=0；

④在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数．

3判断函数奇偶性的方法

①定义法

先判断定义域是否关于原点对称，再求f(?x),看下与f(x)的关系：若f?x=f(x)，则y=fx是偶函数；若f?x=?f(x)，则y=fx是奇函数.

②数形结合

若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于y轴对称，则函数是偶函数.

③取特殊值排除法(选择题)

比如：若根据函数得到f(1)≠f(?1)，则排除f(x)是偶函数.

④性质法

偶函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为偶函数；奇函数的和、差(分母不为0)仍为奇函数；

奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为0)为偶函数；

一个奇函数与偶函数的积为奇函数.

对于复合函数Fx=f(g(x))的奇偶性如下图



g(x)

f(x)

Fx

偶函数

偶函数

偶函数

奇函数

奇函数

奇函数

偶函数

奇函数

偶函数

奇函数

偶函数

偶函数





【题型一】对函数奇偶性概念的理解

角度1函数奇偶性的概念

【典题1】已知f(x)=ax2+bx是定义在[a?1,2a]上的偶函数，那么a+b的值是.









【典题2】f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是________：

1f?x+fx=0;2f?x?fx=?2fx;

3fx?f?x≤0;4fxf?x=?1









角度2判断函数的奇偶性

情况1具体函数的奇偶性判断

【典题1】函数f(x)=4?x2|x+3|?3的图象关于对称．









情况2抽象函数的奇偶性判断

【典题1】设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()

A.f(x)f(?x)是奇函数B.f(x)|f(?x)|是奇函数

C.f(x)?f(?x)是奇函数D.f(x)+f(?x)是奇函数











巩固练习

1(★)下列函数中，是偶函数的是( )

A．y=|x2+x|B．y=2xC．y=x3+xD．y=lgx

2(★)函数f(x)=9x+13x的图象关于( )对称

A．原点B．y=xC．x轴D．y轴

3(★★)若函数f(x)的定义域是R，且对任意x,y∈R，都有f(x＋y)=f(x)＋f(y)成立．试判断f(x)的奇偶性．











【题型二】函数奇偶性的运用

角度1已知函数奇偶性，求值问题

【典题1】设f(x)为定义上R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+2x+b(b为常数)，求f(?1).









【典题2】若函数F(x)=f(x)?2x4是奇函数，G(x)=f(x)+(12)x为偶函数，则f?1=.













角度2判断函数的图像

【典题1】函数f(x)=x32?x?2x的图象大致为( )

A．B．

C．D．









巩固练习

1(★)若函数f(x)=2x?a2x+1的图象关于y轴对称，则常数a=.

2(★)已知函数f(x)=x5?ax3+bx+2，f(?5)=17，则f(5)的值是.

3(★★)已知函数f(x)=g(x+1)?2x为定义在R上的奇函数，则g(0)+g(1)+g(2)=.

4(★★)函数f(x)=(3x?1)lnx23x+1的部分图象大致为( )

A．B．C．D．



【题型三】函数的奇偶性与单调性的综合

【典题1】已知奇函数y=f(x)在(?∞,0)为减函数，且f(2)=0，则不等式(x?1)f(x?1)>0的解集为( )

A．{x|?32}

C．{x|?33}D．{x|?1f(x?4)成立的x的取值范围为( )

A．13,1B．(?1,32)C．(?∞,32)D．(?∞,?1)∪(32,+∞)













巩固练习

1(★)下列函数中，既是偶函数，又在(0,+∞)上单调递增的是( )

A．f(x)=1?x2B．f(x)=x?1x

C．f(x)=log12|x|D．fx=2x

2(★)如果奇函数f(x)在区间[1,5]上是减函数，且最小值为6，那么f(x)在区间[?5,?1]上是( )

A．减函数且最大值为?6B．增函数且最大值为6

C．减函数且最小值为?6D．增函数且最小值为6

3(★★)已知函数f(x)=x3+2x，则不等式f(2x)+f(x?1)>0的解集为.

4(★★)已知函数f(x)=ln|x|+x2，设a=f(?2),b=f(1),c=f(20.3)，则a,c,b的大小关系.

5(★★★)已知f(x)是R上的奇函数且单调递增，则下列函数是偶函数且在(0,+∞)上单调递增的有.

①y=|f(x)|；②y=f(x2+x)；③y=f(|x|)；④y=efx+e?fx．