函数的奇偶性



1函数奇偶性的概念

①一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果?x∈I，都有?x∈I，且f(?x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.

②一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果?x∈I，都有?x∈I，且f(?x)=?f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.

由奇偶函数的概念可知道其定义域I是关于原点对称的.

2性质

①偶函数关于y轴对称；

②奇函数关于原点对称；

③若奇函数f(x)定义域内含有0，则f(0)=0；

④在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数．

3判断函数奇偶性的方法

①定义法

先判断定义域是否关于原点对称，再求f(?x),看下与f(x)的关系：若f?x=f(x)，则y=fx是偶函数；若f?x=?f(x)，则y=fx是奇函数.

②数形结合

若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于y轴对称，则函数是偶函数.

③取特殊值排除法(选择题)

比如：若根据函数得到f(1)≠f(?1)，则排除f(x)是偶函数.

④性质法

偶函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为偶函数；奇函数的和、差(分母不为0)仍为奇函数；

奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为0)为偶函数；

一个奇函数与偶函数的积为奇函数.

对于复合函数Fx=f(g(x))的奇偶性如下图



g(x)

f(x)

Fx

偶函数

偶函数

偶函数

奇函数

奇函数

奇函数

偶函数

奇函数

偶函数

奇函数

偶函数

偶函数





【题型一】对函数奇偶性概念的理解

角度1函数奇偶性的概念

【典题1】已知f(x)=ax2+bx是定义在[a?1,2a]上的偶函数，那么a+b的值是.

【解析】依题意得f(?x)=f(x)，∴b=0，

又a?1=?2a(奇偶函数的定义域关于原点对称)，

∴a=13，∴a+b=13．



【典题2】f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是________：

1f?x+fx=0;2f?x?fx=?2fx;

3fx?f?x≤0;4fxf?x=?1

【解析】根据奇函数的定义可知f(?x)=?f(x)，则(1)，(2)正确；

对于3，fxf?x=?f2(x)≤0,故正确；

对于(4)，f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)=0,则(4)不正确，故答案为：(4).



角度2判断函数的奇偶性

情况1具体函数的奇偶性判断

【典题1】函数f(x)=4?x2|x+3|?3的图象关于对称．

【解析】要使函数有意义，则4?x2≥0|x+3|?3≠0，即(x?2)(x+2)0的解集为( )

A．{x|?32}

C．{x|?33}D．{x|?10，所以(x?1)与f(x?1)同号，

由图象可得?2f(x?4)成立的x的取值范围为( )

A．13,1B．(?1,32)C．(?∞,32)D．(?∞,?1)∪(32,+∞)

【解析】方法一

∵f(x)=lg(x2+1)

∴由f(3x?2)>f(x?4)得lg3x?22+1>lgx?42+1，(代入原函数暴力求解)

则3x?22+1>x?42+1，解得x32.

方法二

根据题意，函数f(x)=lg(x2+1)，其定义域为R，

有f(?x)=lg(x2+1)=f(x)，即函数f(x)为偶函数，

设t=x2+1，则y=lgt，

在区间[0,+∞)上，t=x2+1为增函数且t≥1，y=lgt在区间[1,+∞)上为增函数，

则f(x)=lg(x2+1)在[0,+∞)上为增函数，

f(3x?2)>f(x?4)?f(|3x?2|)>f(|x?4|)?|3x?2|>|x?4|，

解得x32，故选：D．

【点拨】

①若函数y=f(x)是偶函数，则函数在y轴两侧的单调性是相反的，

若函数y=f(x)是奇函数，则函数在y轴两侧的单调性是相同的，

②若函数y=f(x)是偶函数，在[0,+∞)上递增，

则求解f(x2)>f(x1)等价于解不等式x2>|x1|，不要漏了绝对值.(如下图所示).



③遇到类似f(3x?2)>f(x?4)的函数不等式，一般都是利用函数的单调性处理.



巩固练习

1(★)下列函数中，既是偶函数，又在(0,+∞)上单调递增的是( )

A．f(x)=1?x2B．f(x)=x?1x

C．f(x)=log12|x|D．fx=2x

【答案】D

【解析】根据题意，依次分析选项：

对于A，y=x2+2x，为二次函数，其对称轴为x=?1，在(?∞,0)内不是增函数，不符合题意；

对于B，y=e|x|=ex,x≥0e?x,x01?lg(?x),x0的解集为.

【答案】(13,+∞)

【解析】函数f(x)为奇函数，且函数f(x)为增函数，

则不等式f(2x)+f(x?1)>0等价为f(2x)>?f(x?1)=f(1?x)，

则2x>1?x，得3x>1，得x>13，

即不等式的解集为13,+∞

4(★★)已知函数f(x)=ln|x|+x2，设a=f(?2),b=f(1),c=f(20.3)，则a,c,b的大小关系.

【答案】a>c>b

【解析】f(x)是偶函数，且x>0时递增，所以f2>f20.3>f(1)，即a>c>b.

5(★★★)已知f(x)是R上的奇函数且单调递增，则下列函数是偶函数且在(0,+∞)上单调递增的有.

①y=|f(x)|；②y=f(x2+x)；③y=f(|x|)；④y=efx+e?fx．

【答案】①③④

【解析】因为f(x)是R上的奇函数且单调递增，

故当x>0时，f(x)>f(0)=0，

①g(?x)=|f(?x)|=|f(x)|=g(x)为偶函数，且当x>0时，g(x)=|f(x)|=f(x)单调递增，符合题意；

②g(?x)=f(x2?x)≠g(x)，故不满足偶函数；

③g(?x)=f(|?x|)=f(|x|)=g(x)，且x>0时g(x)=f(x)单调递增，符合题意；

④g(?x)=ef?x+e?f?x=e?fx+efx=g(x)，

满足偶函数，且x>0时，f(x)>0，efx>1，

根据对勾函数的单调性可知g(x)=efx+e?fx单调递增，符合题意．