二次方程根的分布问题



1概念

二次方程ax2+bx+c=0的根(即二次函数y=ax2+bx+c零点)的分布问题.

2常见题型

①两根与k的大小比较(以a>0为例)

分布情况

两根都小于k，

即x1k,x2>k

一根小于k，一根大于k，即x10?b2a0

?>0?b2a>kfk>0

fk0

a0fn>0

③根在区间上的分布(以a>0为例)

分布情况

两根都在(m,n)内



两根有且仅有一根在(m,n)内

一根(m,n)内，

另一根在(p,q)内

大致图像







得出的结论

?>0fm>0fn>0m0fn0orfmfn0)的两个互异的实根都小于1，则实数m的取值范围是．















【典题2】已知二次方程2m+1x2?2mx+m?1=0有一正根和一负根，求实数m的取值范围.















【题型二】根在区间上的分布

【典题1】已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0,若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，则m的范围是．















【典题2】方程mx2?(m?1)x+1=0在区间(0,1)内有两个不同的根，则m的取值范围为．















【典题3】已知方程x2?2a+1x+a(a+1)=0的两根分别在区间(0,1)，(1,3)之内，则实数a的取值范围为．



















【题型三】两根分别在区间(m,n)外

【典题1】已知关于x的方程ax2+x+2=0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a的取值范围是．















巩固练习

1(★)已知关于x的方程x2+kx+k2+k－4=0有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数k的取值范围为．

2(★)方程x2?2?ax+5?a=0的两根都大于2，则实数a的取值范围是．

3(★★)若方程7x2?m+13x?m?2=0的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上，则实数m的取值范围为．

4(★★)关于x的方程x2?(a?1)x+4=0在区间[1,3]内有两个不等实根，则实数a的取值范围是．

5(★★)若关于x的一元二次方程x2+ax?2=0有两个不相等的实根x1,x2，且x11，则实数a的取值范围是．

6(★★★)求实数m的范围，使关于x的方程x2+2(m?1)x+2m+6=0.

(1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小；

(2)有两个实根α,β，且满足00，

求证：(1)pf(mm+1)<0；(2)方程f(x)=0在(0,1)内恒有解．