二次方程根的分布问题



1概念

二次方程ax2+bx+c=0的根(即二次函数y=ax2+bx+c零点)的分布问题.

2常见题型

①两根与k的大小比较(以a>0为例)

分布情况

两根都小于k，

即x1k,x2>k

一根小于k，一根大于k，即x10?b2a0

?>0?b2a>kfk>0

fk0

a0fn>0



③根在区间上的分布(以a>0为例)

分布情况

两根都在(m,n)内



两根有且仅有一根在(m,n)内

一根(m,n)内，

另一根在(p,q)内

大致图像







得出的结论

?>0fm>0fn>0m0fn0orfmfn0)的两个互异的实根都小于1，则实数m的取值范围是．

【解析】∵关于x的二次方程mx2+2m?1x?m+2=0(m>0)的两个互异的实根都小于1，

则m>0△=(2m?1)2?4m(?m+2)>01?2m2m0，(?)

(m>0开口向上，?>0有两根，1?2m2m0确定最大根小于1)

即m>0m3+74m>14m>?12求得m>3+74，

即m的范围为(3+74，+∞)，故答案为：(3+74，+∞)．

【点拨】思考下，要确保题意成立，(?)中满足的四项分别属于二次函数的什么性质呢？不要其中一项是否可以，又为什么呢(结合图像)？确定仅满足这四项就行了么？

这属于对题意的必要性与充分性的思考，做到“等价转化”！



【典题2】已知二次方程2m+1x2?2mx+m?1=0有一正根和一负根，求实数m的取值范围.

【解析】方法一

当2m+1>0时，若要满足题意，必须f00；

即2m+1f00x1x2=m?12m+10f(1)=4m+20，解得?560，避免讨论m000△>0?m>0m>1(m?1)2?4m>0?m>3+22.



【典题3】已知方程x2?2a+1x+a(a+1)=0的两根分别在区间(0,1)，(1,3)之内，则实数a的取值范围为．

【解析】方法1

方程x2－2a+1x+a(a+1)=0对应的函数为f(x)=x2－2a+1x+a(a+1)

若要满足题意，

则f0>0f10?aa+1>0?2a+aa+10?a>0或a3或a0和m>0与m0和a0，即图象开口向上，

ax2+x+2=0的两个实根一个小于0，另一个大于1，只需f(0)0不可能)

②若a0，且f(1)>0，

即2>0且a+3>0，则－302?a2>2，即a2≥16a+5>02?a>4，

解得：－50f(1)0，∴f(0)=?m?2>0f(1)=?2m?80，即m?4m011，则实数a的取值范围是．

【答案】?11，

∴f(?1)0f(1)=4m+50，解得?7502m?1?2>0，即m≤?1或m≥5m>?3m0，

求证：(1)pf(mm+1)0，所以pf(mm+1)0时，由(1)知f(mm+1)0，则f(0)>0，又f(mm+1)0，

又f(mm+1)<0，

所以f(x)=0在(mm+1,1)内有解．

因此方程f(x)=0在(0,1)内恒有解．

②当p<0时，同样可以证得结论．