二次函数在闭区间上的最值问题



二次函数在闭区间上的最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．

一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况．

设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，求f(x)在x∈[m,n]上的最大值与最小值．

分析：将f(x)配方，得顶点为(?b2a,4ac?b24a)、对称轴为x=?b2a；

当a>0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m,n]上f(x)的最值：

(1)当?b2a∈m,n时，

fx的最小值是f?b2a=4ac?b24a,f(x)的最大值是f(m),f(n)中的较大者．

(2)当?b2an时，由f(x)在[m,n]上是减函数，则f(x)的最大值是f(m)，最小值是f(n)．

当a<0时，可类比得结论．





【题型一】定轴动区间

已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，且f(x)在区间[?2,4]上的最大值是28．

(1)求f(x)的解析式；

(2)设函数f(x)在x∈[t,t+1]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式．

















【题型二】动轴定区间

求fx=x2?2ax?1在区间[0,2]上的最大值和最小值．





















【题型三】逆向题型

已知函数f(x)=ax2+(2a?1)x?3在区间[?32,2]上最大值为1，求实数a的值．





























巩固练习

1(★★)已知函数fx=x2+2ax+2．

(1)当a=1时，求函数f(x)在区间[?2,3)上的值域；

(2)当a=?1时，求函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值；

(3)求f(x)在[?5,5]上的最大值与最小值．

















2(★★)已知函数f(x)=x2+2mx+1．

(1)若m=1，求f(x)在[?1,3]上的最大值和最小值；

(2)若f(x)在[?2,2]为单调函数，求m的值；

(3)在区间[?1,2]上的最大值为4，求实数m的值．























3(★★)已知函数f(x)=9x2?6ax+a2?10a?6在[?13,b]上恒大于或等于0，其中实数a∈[3,+∞),求实数b的范围.























4(★★★)已知函数fx=?x22+x在区间[m,n]上的最小值是3m,最大值是3n，求m,n的值.





























挑战学霸

设a为实数，记函数fx=a1?x2+1+x+1?x的最大值为g(a)．

(1)设t=1+x+1?x，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)，求m(t)和表达式及t的取值范围．

(2)求g(a).