二次函数在闭区间上的最值问题



二次函数在闭区间上的最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．

一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况．

设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，求f(x)在x∈[m,n]上的最大值与最小值．

分析：将f(x)配方，得顶点为(?b2a,4ac?b24a)、对称轴为x=?b2a；

当a>0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m,n]上f(x)的最值：

(1)当?b2a∈m,n时，

fx的最小值是f?b2a=4ac?b24a,f(x)的最大值是f(m),f(n)中的较大者．

(2)当?b2an时，由f(x)在[m,n]上是减函数，则f(x)的最大值是f(m)，最小值是f(n)．

当a0)．(待定系数法，二次函数设为交点式)

∴f(x)在区间[－2,4]上的最大值是f(?2)=14a．

由已知得14a=28，∴a=2，

∴fx=2xx?5=2x2－10x(x∈R)．

(2)由(1)得fx=2x?2.52?12.5，函数图象的开口向上，对称轴为x=2.5

(讨论对称轴x=2.5与闭区间[t,t+1]的相对位置)

①当t+1≤2.5时，即t≤1.5时，f(x)在[t,t+1]上单调递减，(对称轴在区间右侧)

此时f(x)的最小值gt=ft+1=2t+12?10t+1=2t2?6t?8；

②当t≥2.5时，f(x)在[t,t+1]上单调递增，(对称轴在区间左侧)

此时f(x)的最小值gt=ft=2t2?10t；

③当1.52时，由图④可知，f(x)在[0,2]上递减，

∴fxmin=f2=3?4a，fxmax=f0=?1．

综上所述，

当a2时，fxmin=3?4a，fxmax=?1．



【点拨】

①题目中的函数fx=x2?2ax?1的对称轴x=a是不确定的，定义域[0,2]是确定的，在求最小值时与“定轴动区间”的思考一样分对称轴x=a在区间[0,2]的“左、中、右”分成三种情况(即a2)进行讨论.

②在求最大值时，当0≤a≤2，还需要判断x=0和x=2时谁离对称轴更远些，才能确定f(0)、f(2)哪个是最大值，则还有分类0≤a0,x0=?13距右端点2较远，f(2)最大值符合条件，∴a=34.

(iii)若f(12a?1)=1，解得a=?3±222，

当a=?3+2225时,最小值为27?10a，最大值为27+10a；05时，函数y在[－5,5]上是增函数，

当x=?5时，函数y取得最小值为27?10a；当x=5时，函数y取得最大值为27+10a．

②当?5≤a5，即a3即b>?23,umin=g(3b+5)=?30b?31

若?30b?31≥0解得b≤?3130,与b>?23矛盾;

(2)若?130时，函数y=mt,t∈[2,2]的图像是开口向上的抛物线的一段，

由t=?1a<0知mt在[2,2]上单调递增，

∴ga=m2=a+2．

②当a=0时，mt=t,t∈[2,2]，∴ga=2．

③当a<0时，函数y=mt,t∈[2,2]的图像是开口向下的抛物线的一段．

若t=?1a∈(0,2)，即a
若t=?1a∈[2,2]，即a∈[?22,?12]，则ga=m?1a=?a?12a．

若t=?1a∈(2,+∞)，即a∈(12,0)，则ga=m2=a+2．

综上有ga=a+2,?12