3.5.3 函数的周期性和对称性-新教材人教A版必修第一册练习(学生版) 人教版
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文件简介::
函数的周期性和对称性
一函数的周期性
1概念
对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么把函数y=f(x)叫做周期函数，常数T叫做这个函数的周期.
Eg：
上图是三角函数fx=sinx的图像
①函数图像可看成由红色那段图像玩“分身术”的向两边延申；
②红色图像的水平长度为AB=2π，它就是函数的最小正周期T，即T=2π；
(思考：4π是周期么)
③整个函数，对于任何x，都有f(x+2π)=f(x).
(简单说来，两个自变量相差2π，它们对应的函数值均相等)
下面两个图像也是周期函数的图像！他们的周期是什么？最小正周期呢？
2常见的结论
①若f(x+a)=f(x+b)，则y=f(x)的周期是T=a?b.
②若f(x+a)=?f(x)，则y=f(x)的周期是T=2a；(你可证明试试)
③若fx+a=1fx，则y=f(x)的周期是T=2a.
二函数的对称性
1函数图象自身的对称关系
①轴对称：若f(x+a)=f(b?x),则y=f(x)有对称轴x=a+b2.
②中心对称：若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件f(a+x)+f(b?x)=c(a,b,c为常数)，则函数y=f(x)的图象关于点(a+b2,c2)对称.
2两个函数图象之间的对称关系
①轴对称
若函数y=f(x)定义域为R，则两函数y=f(x+a)与y=f(b?x)的图象关于直线x=b?a2对称.
特殊地，函数y=f(a+x)与函数y=f(a?x)的图象关于直x=0对称.
②中心对称
若函数y=f(x)定义域为R，则两函数y=f(a+x)与y=c?f(b?x)的图象关于点(b?a2,c2)对称.
特殊地，函数y=f(x+a)与函数y=?f(b?x)图象关于点(b?a2,0)对称.
3周期性与对称性拓展
①若函数y=f(x)同时关于直线x=a,x=b对称，则函数y=f(x)的周期T=2|b?a|；特殊地，若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则函数y=f(x)的周期T=2a；
②若函数y=f(x)同时关于点a,0,(b,0)对称，则函数y=f(x)的周期T=2|b?a|；
③若函数y=fx同时关于直线x=a对称，又关于点b,0对称,则函数y=f(x)的周期
T=4|b?a|；
特殊地，若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则函数y=f(x)的周期T=4|a|.
【题型一】函数的周期性
【典题1】设f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)=x(1+x)，则f(?92)=
【典题2】设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x+3)=?1f(x)，且当x∈[?3,?2]时，f(x)=4x，则f(107.5)=．
巩固练习
1(★★)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足fx+4=?f(x)，且在[0,2]上单调递减，则( )
A．f(8)1，f5=a2?2a?4，则实数a的取值范围是.
【题型二】函数图象自身的对称关系
【典题1】定义在R上的函数f(x)的图象关于点(?34，0)成中心对称且对任意的实数x都有fx=?f(x+32)且f?1=1,f0=?2，则f(1)+f(2)+…+f(2014)=.
【典题2】已知函数f(x)=2x2x2?4x+8，则( )
A．函数f(x)的图象关于x=2对称B．函数f(x)的图象关于x=4对称
C．函数f(x)的图象关于(2,2)对称D．函数f(x)的图象关于(4,4)对称
【题型三】两个函数图象之间的对称关系
【典题1】下列函数中，其图象与函数y=lgx的图象关于点(1,0)对称的是( )
A．y=lg(1?x)B．y=lg(2?x)
C．y=log0.1(1?x)D．y=log0.1(2?x)
【典题2】下列函数中，其图象与函数y=2x的图象关于直线y=1对称的是.
巩固练习
1(★★)已知函数f(x)=ax+2x?6的对称中心为(b,1)，则a=；b=．
2(★★)【多选题】函数f(x)的图象关于直线x=1对称，那么( )
A．f(2?x)=f(x)B．f(1?x)=f(1+x)
C．函数y=f(x+1)是偶函数D．函数y=f(x?1)是偶函数
3(★★★)已知函数f(x)=lnx+ln(a?x)的图象关于直线x=1对称，则函数f(1)的值为( )
A．0B．1C．lnaD．?1
4(★★★)已知函数f(x)=lnx4?x，则( )
A．y=f(x)的图象关于点(2,0)对称B．y=f(x)的图象关于直线x=2对称
C．f(x)在(0,4)上单调递减D．f(x)在(0,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增
5(★★)同一平面直角坐标系中，函数y=2x+1与y=21?x的图象( )
A．关于原点对称B．关于x轴对称
C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称
6(★★★)【多选题】已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件fx+2=?f(x)，且函数y=f(x?1)为奇函数，则( )
A．函数y=f(x)是周期函数B．函数y=f(x)的图象关于点(?1,0)对称
C．函数y=f(x)为R上的偶函数D．函数y=f(x)为R上的单调函数
一函数的周期性
1概念
对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么把函数y=f(x)叫做周期函数，常数T叫做这个函数的周期.
Eg：
上图是三角函数fx=sinx的图像
①函数图像可看成由红色那段图像玩“分身术”的向两边延申；
②红色图像的水平长度为AB=2π，它就是函数的最小正周期T，即T=2π；
(思考：4π是周期么)
③整个函数，对于任何x，都有f(x+2π)=f(x).
(简单说来，两个自变量相差2π，它们对应的函数值均相等)
下面两个图像也是周期函数的图像！他们的周期是什么？最小正周期呢？
2常见的结论
①若f(x+a)=f(x+b)，则y=f(x)的周期是T=a?b.
②若f(x+a)=?f(x)，则y=f(x)的周期是T=2a；(你可证明试试)
③若fx+a=1fx，则y=f(x)的周期是T=2a.
二函数的对称性
1函数图象自身的对称关系
①轴对称：若f(x+a)=f(b?x),则y=f(x)有对称轴x=a+b2.
②中心对称：若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件f(a+x)+f(b?x)=c(a,b,c为常数)，则函数y=f(x)的图象关于点(a+b2,c2)对称.
2两个函数图象之间的对称关系
①轴对称
若函数y=f(x)定义域为R，则两函数y=f(x+a)与y=f(b?x)的图象关于直线x=b?a2对称.
特殊地，函数y=f(a+x)与函数y=f(a?x)的图象关于直x=0对称.
②中心对称
若函数y=f(x)定义域为R，则两函数y=f(a+x)与y=c?f(b?x)的图象关于点(b?a2,c2)对称.
特殊地，函数y=f(x+a)与函数y=?f(b?x)图象关于点(b?a2,0)对称.
3周期性与对称性拓展
①若函数y=f(x)同时关于直线x=a,x=b对称，则函数y=f(x)的周期T=2|b?a|；特殊地，若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则函数y=f(x)的周期T=2a；
②若函数y=f(x)同时关于点a,0,(b,0)对称，则函数y=f(x)的周期T=2|b?a|；
③若函数y=fx同时关于直线x=a对称，又关于点b,0对称,则函数y=f(x)的周期
T=4|b?a|；
特殊地，若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则函数y=f(x)的周期T=4|a|.
【题型一】函数的周期性
【典题1】设f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)=x(1+x)，则f(?92)=
【典题2】设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x+3)=?1f(x)，且当x∈[?3,?2]时，f(x)=4x，则f(107.5)=．
巩固练习
1(★★)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足fx+4=?f(x)，且在[0,2]上单调递减，则( )
A．f(8)1，f5=a2?2a?4，则实数a的取值范围是.
【题型二】函数图象自身的对称关系
【典题1】定义在R上的函数f(x)的图象关于点(?34，0)成中心对称且对任意的实数x都有fx=?f(x+32)且f?1=1,f0=?2，则f(1)+f(2)+…+f(2014)=.
【典题2】已知函数f(x)=2x2x2?4x+8，则( )
A．函数f(x)的图象关于x=2对称B．函数f(x)的图象关于x=4对称
C．函数f(x)的图象关于(2,2)对称D．函数f(x)的图象关于(4,4)对称
【题型三】两个函数图象之间的对称关系
【典题1】下列函数中，其图象与函数y=lgx的图象关于点(1,0)对称的是( )
A．y=lg(1?x)B．y=lg(2?x)
C．y=log0.1(1?x)D．y=log0.1(2?x)
【典题2】下列函数中，其图象与函数y=2x的图象关于直线y=1对称的是.
巩固练习
1(★★)已知函数f(x)=ax+2x?6的对称中心为(b,1)，则a=；b=．
2(★★)【多选题】函数f(x)的图象关于直线x=1对称，那么( )
A．f(2?x)=f(x)B．f(1?x)=f(1+x)
C．函数y=f(x+1)是偶函数D．函数y=f(x?1)是偶函数
3(★★★)已知函数f(x)=lnx+ln(a?x)的图象关于直线x=1对称，则函数f(1)的值为( )
A．0B．1C．lnaD．?1
4(★★★)已知函数f(x)=lnx4?x，则( )
A．y=f(x)的图象关于点(2,0)对称B．y=f(x)的图象关于直线x=2对称
C．f(x)在(0,4)上单调递减D．f(x)在(0,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增
5(★★)同一平面直角坐标系中，函数y=2x+1与y=21?x的图象( )
A．关于原点对称B．关于x轴对称
C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称
6(★★★)【多选题】已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件fx+2=?f(x)，且函数y=f(x?1)为奇函数，则( )
A．函数y=f(x)是周期函数B．函数y=f(x)的图象关于点(?1,0)对称
C．函数y=f(x)为R上的偶函数D．函数y=f(x)为R上的单调函数
