函数的周期性和对称性



一函数的周期性

1概念

对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么把函数y=f(x)叫做周期函数，常数T叫做这个函数的周期.

Eg：



上图是三角函数fx=sinx的图像

①函数图像可看成由红色那段图像玩“分身术”的向两边延申；

②红色图像的水平长度为AB=2π，它就是函数的最小正周期T，即T=2π；

(思考：4π是周期么)

③整个函数，对于任何x，都有f(x+2π)=f(x).

(简单说来，两个自变量相差2π，它们对应的函数值均相等)

下面两个图像也是周期函数的图像！他们的周期是什么？最小正周期呢？



2常见的结论

①若f(x+a)=f(x+b)，则y=f(x)的周期是T=a?b.

②若f(x+a)=?f(x)，则y=f(x)的周期是T=2a；(你可证明试试)

③若fx+a=1fx，则y=f(x)的周期是T=2a.

二函数的对称性

1函数图象自身的对称关系

①轴对称：若f(x+a)=f(b?x),则y=f(x)有对称轴x=a+b2.

②中心对称：若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件f(a+x)+f(b?x)=c(a,b,c为常数)，则函数y=f(x)的图象关于点(a+b2,c2)对称.



2两个函数图象之间的对称关系

①轴对称

若函数y=f(x)定义域为R，则两函数y=f(x+a)与y=f(b?x)的图象关于直线x=b?a2对称.

特殊地，函数y=f(a+x)与函数y=f(a?x)的图象关于直x=0对称.

②中心对称

若函数y=f(x)定义域为R，则两函数y=f(a+x)与y=c?f(b?x)的图象关于点(b?a2,c2)对称.

特殊地，函数y=f(x+a)与函数y=?f(b?x)图象关于点(b?a2,0)对称.

3周期性与对称性拓展

①若函数y=f(x)同时关于直线x=a,x=b对称，则函数y=f(x)的周期T=2|b?a|；特殊地，若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则函数y=f(x)的周期T=2a；

②若函数y=f(x)同时关于点a,0,(b,0)对称，则函数y=f(x)的周期T=2|b?a|；

③若函数y=fx同时关于直线x=a对称，又关于点b,0对称,则函数y=f(x)的周期

T=4|b?a|；

特殊地，若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则函数y=f(x)的周期T=4|a|.





【题型一】函数的周期性

【典题1】设f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)=x(1+x)，则f(?92)=

【解析】∵f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)=x(1+x)，

∴f?92=f?92+4=f?12=?f(12)=?12(1+12)=?34.

【典题2】设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x+3)=?1f(x)，且当x∈[?3,?2]时，

f(x)=4x，则f(107.5)=．

【解析】∵f(x+3)=?1f(x)，

∴f(x+6)=?1f(x+3)=?1?1f(x)=f(x)，

∴函数f(x)是以6为周期的函数．

∵当x∈[－3,－2]时，f(x)=4x，

∴f(107.5)=f(6×17+5.5)=f(5.5)=?1f(2.5)=?1f(?2.5)=?14×(?2.5)=110．

故答案为：110．

【点拨】

①在求值过程中，比如本题中求f(107.5)，先用函数周期性把107.5这个数值变小些，尽量向[－3,－2]靠拢.

②函数综合性的题型，可用数形结合的方法找到思考的方向.



巩固练习

1(★★)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足fx+4=?f(x)，且在[0,2]上单调递减，则( )

A．f(8)f(0)>f(1)，即f(15)>f(8)>f(11)．

故选：B．

2(★★)已知f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈[?1,1]时，f(x)=|x|，那么当

x∈[?7,?5]时，f(x)=.

【答案】|x+6|

【解析】当x∈[－7，－5]时，x+6∈[－1，1]．

∴f(x)=f(x+6)=|x+6|，

故选：C．

3(★★★)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足fx+1=?f(x?1)，若f?1>1，

f5=a2?2a?4，则实数a的取值范围是.

【答案】(?1,3)

【解析】由f(x+1)=－f(x－1)，可得f(x+2)=－f(x)，

则f(x+4)=－f(x+2)=f(x)，故函数f(x)的周期为4，

则f(5)=f(1)=a2－2a－4，

又∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(－1)>1，

∴f(1)＜－1．

∴a2－2a－4＜－1，解得－1＜a＜3．

∴实数a的取值范围是(－1，3)．



【题型二】函数图象自身的对称关系

【典题1】定义在R上的函数f(x)的图象关于点(?34，0)成中心对称且对任意的实数x都有

fx=?f(x+32)且f?1=1,f0=?2，则f(1)+f(2)+…+f(2014)=.

【解析】∵fx=?f(x+32)，∴fx+32=?f(x),

则fx+3=?f(x+32)=f(x)

∴f(x)是周期为3的周期函数．(确定周期后，接着求前三项和f(1)+f(2)+f(3)便可)

则f2=f?1+3=f?1=1,f12=?f?1=?1

∵函数f(x)的图象关于点(?34，0)成中心对称，∴f1=?f?52=?f(12)=1

∵f3=f0=?2∴f1+f2+f3=1+1?2=0

∴f(1)+f(2)+…+f(2014)=f(1)=1



【典题2】已知函数f(x)=2x2x2?4x+8，则( )

A．函数f(x)的图象关于x=2对称B．函数f(x)的图象关于x=4对称

C．函数f(x)的图象关于(2,2)对称D．函数f(x)的图象关于(4,4)对称

【解析】方法一利用函数平移和奇偶性

对于A选项：若函数f(x)的图象关于x=2对称，则y=f(x+2)是偶函数，

而y=f(x+2)=2(x+2)2x2+4不是偶函数，∴A错误；

对于B选项，可以采取类似选项A的方法排除；

对于C选项：若函数f(x)的图象关于(2,2)对称，则则函数向左和向下均平移2个单位的函数关于原点对称，即y=f(x+2)－2是奇函数.

易得y=f(x+2)?2=2(x+2)2x2+4?2=8xx2+4是奇函数，∴C正确；

对于D选项：若函数f(x)的图象关于(4,4)对称，则函数向左和向下均平移4个单位的函数关于原点对称，即y=fx+4?4是奇函数.

而y=f(x+4)?4=2(x+4)2(x+2)2+4?4=?2x2(x+2)2+4不是奇函数，∴D错误．

故选C．

方法二利用函数自身的轴对称和中心对称关系

利用函数自身的轴对称关系:若f(x+a)=f(b?x),则y=f(x)有对称轴x=a+b2.

对于A选项：若函数f(x)的图象关于x=2对称，则有f(4?x)=f(x)

而f4?x=2(4?x)2(4?x)2?4(4?x)+8=2(4?x)2x2?4x+8≠2x2x2?4x+8=fx,∴A错误；

对于B选项：若函数fx的图象关于x=4对称，则有f8?x=fx

而...