恒成立和存在性问题



1恒成立和存在性问题

(1)单变量的恒成立问题

①?x∈D,fxa恒成立，则fxmin>a；

③?x∈D,fxg(x)恒成立，则Fx=fx?gx>0∴fxmin>0;



(2)单变量的存在性问题

①?x0∈D，使得fx0a成立，则fxmax>a；

③?x0∈D，使得fx0g(x0)恒成立，则Fx=fx?gx>0∴fxmax>0;



(3)双变量的恒成立与存在性问题

①?x1∈D,?x2∈E，使得fx1gx2恒成立，则fxmin>gxmin;

③?x1∈D,?x2∈E,fx1x2?x+b恒成立，则b的取值范围是.

















2分离参数法

【典题1】已知函数f(x)=3x+8x+a关于点(0,?12)对称，若对任意的x∈[?1,1]，k?2x?f(2x)≥0恒成立，则实数k的取值范围为.



















【典题2】已知fx=log2(1?a?2x+4x)，其中a为常数

(1)当f1?f(0)=2时，求a的值；

(2)当x∈[1,+∞)时，关于x的不等式fx≥x?1恒成立，试求a的取值范围；













3变换主元法

【典题1】对任意a∈[?1,1]，不等式x2+(a?4)x?2a>0恒成立，求x的取值范围.



















4数形结合法

【典题1】已知a>0,f(x)=x2?ax,当x∈(?1,1)时，有f(x)0)，若对于任意x1∈[0,1]，总存在x0∈[0,1]，使得g(x0)=f(x1)成立，则a的取值范围是．

























巩固练习

1(★★)已知1+2x+a?4x>0对一切x∈(?∞,1]上恒成立，则实数a的取值范围是．

2(★★)若不等式2x?1>m(x2?1)对满足|m|≤2的所有m都成立，则x的取值范围是．.

3(★★)若不等式3x2?logax0且a≠1，函数fx=ax+a?xx∈－1,1，gx=ax2?2ax+4?a(x∈[?1,1])．

(1)求f(x)的单调区间和值域；

(2)若对于任意x1∈[?1,1]，总存在x0∈[?1,1]，使得g(x0)=f(x1)成立，求a的取值范围；

(3)若对于任意x0∈[?1,1]，任意x1∈[?1,1]，都有g(x0)≥f(x1)恒成立，求a的取值范围．