抽象函数



1概念

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.

2常见抽象函数模型

特殊模型

抽象函数

正比例函数fx=kx(x≠0)

fx+y=fx+f(y)

幂函数fx=xα

fxy=fxf(y)或fxy=fxfy

指数函数fx=ax(a>0且a≠1)

fx+y=fxf(y)或fx?y=fxfy

对数函数fx=logax(a>0且a≠1)

fxy=fx+f(y)或fxy=fx?f(y)





【题型一】求值问题

【典题1】已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的函数，且对任意x,y∈(0,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1，求f(4),f(8).











【典题2】对任意实数x,y，均满足fx+y2=fx+2fy2且f(1)≠0，则f(2001)=_______.













【题型二】单调性问题

设函数y=f(x)是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件

①对任意正数x,y，都有f(xy)=f(x)+f(y)；②当x>1时，f(x)0，恒有f(x+T)=f(x)，则在区间[0,2T]上，方程f(x)=0根的个数最小值为.

















巩固练习

1(★★)f(x)的定义域为(0,+∞)，对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)且f(4)=2，则f(2)=.

2(★★★)已知f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R都有fx+2?12=2f(x)?f2(x)，则f(2019)=．

3(★★)f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0，则方程f(x)=0在区间[?6,6]内解的个数的最小值是.

4(★★★)已知定义在(?∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)满足?

①对任意x,y∈(?∞,0)∪(0,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)；?

②当x>1时，f(x)>0且f(2)=1；

(1)试判断函数f(x)的奇偶性；

(2)判断函数f(x)在区间[?4,0)∪(0,?4]上的最大值；

(3)求不等式f(3x?2)+f(x)≥4的解集．













5(★★★)已知定义在(0,+∞)的函数f(x)，对任意的x、y∈(0,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，且当00．

(1)证明：当x>1时，f(x)0对x∈(?∞,1]恒成立，求t的取值范围．























挑战学霸

已知fx是定义在R上不恒为0的函数，满足对任意x,y∈R，fx+y=fx+fy，f(xy)=f(x)f(y)．

(1)求f(x)的零点；

(2)判断f(x)的奇偶性和单调性，并说明理由；

(3)①当x∈Z时，求f(x)的解析式；②当x∈R时，求f(x)的解析式.