抽象函数



1概念

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.

2常见抽象函数模型

特殊模型

抽象函数

正比例函数fx=kx(x≠0)

fx+y=fx+f(y)

幂函数fx=xα

fxy=fxf(y)或fxy=fxfy

指数函数fx=ax(a>0且a≠1)

fx+y=fxf(y)或fx?y=fxfy

对数函数fx=logax(a>0且a≠1)

fxy=fx+f(y)或fxy=fx?f(y)





【题型一】求值问题

【典题1】已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的函数，且对任意x,y∈(0,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1，求f(4),f(8).

【解析】∵对任意x，y∈(0,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1，

∴f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2，

f(8)=f(2×4)=f(2)+f(4)=3．

【点拨】

①对于抽象函数求值问题，可大胆取特殊值求解；

②抽象函数f(xy)=f(x)+f(y)是对数函数fx=logax型，由f(2)=1可知fx=log2x，

则易得f4=2，f8=3，作选填题可取.又如f(x+y)=f(x)f(y)且f(1)=2，求f(3)；由f(x+y)=f(x)f(y)可令fx=ax，又因f(1)=2，得fx=2x，故易得f3=8.

故要对常见抽象函数对应的函数模型比较熟悉.



【典题2】对任意实数x,y，均满足fx+y2=fx+2fy2且f(1)≠0，

则f(2001)=_______.

【解析】令x=y=0，得f(0)=0，

令x=n,y=1，得fn+1=fn+2f12

令n=1，得f1=f0+2f12=2f12，

∴f1=12，

∴fn+1?fn=12，

∴fn=n2，即f2001=20012.

【点拨】

①常常需要赋予一些特殊值(如取x=0等)或特殊关系(如取y=x，y=?x等)，要观察等式方程的特点寻找目标，也要大胆下笔多些尝试找些规律；

②比如本题中所求的f(2001)中自变量的取值2001较大，往往要从周期性或者函数的解析式的方向入手.



【题型二】单调性问题

设函数y=f(x)是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件

①对任意正数x,y，都有f(xy)=f(x)+f(y)；②当x>1时，f(x)x1>0，则x2x1>1

∴由②得f(x2x1)19

又∵x>0，2?x>0，(注意函数定义域)

解得x的范围是(1?223,1+223)．

【点拨】

①抽象函数的单调性常用单调性定义证明

任取x1,x2∈D，且x10，选填题可用.



【题型四】周期性问题

奇函数f(x)定义在R上，且对常数T>0，恒有f(x+T)=f(x)，则在区间[0,2T]上，方程f(x)=0根的个数最小值为.

【解析】∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，

故f(0)=0，

又∵f(x+T)=f(x)，即周期为T，

∴f(2T)=f(T)=f(0)=0，

又由f(?T2)=f(?T2+T)=f(T2)，且f?T2=?f(T2)

∴f(T2)=0，∴f(3T2)=f(T2)=0，

故在区间[0,2T]，方程f(x)=0根有x=0，T2，T，3T2，2T，

个数最小值是5个，

【点拨】抽象函数的周期性常与奇偶性，对称性放在一起，记住有关周期性和对称性的结论，做题时常画图像更容易找到思路.

巩固练习

1(★★)f(x)的定义域为(0,+∞)，对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)且f(4)=2，则f(2)=.

【答案】12

【解析】取x=y=2，得f(4)=f(2)+f(2)?f(2)=1；

取x=y=2，得f(2)=f(2)+f(2)?f(2)=12；

2(★★★)已知f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R都有fx+2?12=2f(x)?f2(x)，则f(2019)=．

【答案】1±22

【解析】根据题意，f(x)为偶函数且f(x)满足fx+2?12=2f(x)?f2(x)，

变形可得fx+2?12+[f2(x)?2f(x)+1]=1，

即fx+2?12+fx?12=1，

令x=?1可得f?1?12+f1?12=1，即2f1?12=1，

解可得：f(1)=f(?1)=1±22，

又由f(x)满足fx+2?12+fx?12=1，

则有fx+4?12+fx+2?12=1，

联立可得：fx+4?12=fx?12，

变形可得：f(x+4)=f(x)或f(x+4)+f(x)=2，

若f(x+4)=f(x)，则有f(2019)=f(?1+505×4)=f(?1)=1±22，

此时有f(2019)=1±22，

若f(x+4)+f(x)=2，即f(x+4)=2?f(x)，

则有f(x+8)=2?f(x+4)=f(x)，则有f(2019)=f(3+2016)=f(3)，

则f(3)=2?f(?1)=1±22，

综合可得：f(2019)=1±22，

故答案为：1±22．

3(★★)f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0，则方程f(x)=0在区间[?6,6]内解的个数的最小值是.

【答案】13

【解析】∵f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，

∴f(x+3)=f(x)，且f(－x)=－f(x)，

则f(0)=0，则f3=f6=f?6=f0=0，f?3=?f(3)=0，

∵f(2)=0，∴f(5)=f(?1)=f(?4)=0，f(?5)=0，

f(1)=0，f(4)=0，f(－2)=0，

方程的解可能为0，3，6，－6，－3，2，5，?5，?2，－1，1，4，?4共13个，

故选：D．

4(★★★)已知定义在(?∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)满足?

①对任意x,y∈(?∞,0)∪(0,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)；?

②当x>1时，f(x)>0且f(2)=1；

(1)试判断函数f(x)的奇偶性；

(2)判断函数f(x)在区间[?4,0)∪(0,?4]上的最大值；

(3)求不等式f(3x?2)+f(x)≥4的解集．

【答案】(1)偶函数(2)2(3)x≤?2或x≥83

【解析】(1)∵f(xy)=f(x)+f(y)；

令x=y=a，则f(a2)=f(a)+f(a)=2f(a)，

令x=y=?a，则f(a2)=f(?a)+f(?a)=2f(?a)，

即f(a)=f(?a)，

故函数f(x)是偶函数，

(2)任取00，

∵f(xy)=f(x)+f(y)；

∴f(xy)－f(x)=f(y)；

∴f(x2)－f(x1)=f(x2x1)

∵x2x1>1，x>1时，f(x)>0，

∴f(x2)－f(x1)=f(x2x1)>0，

得到f(x1)0．

(1)证明：当x>1时，f(x)1时，00．∴f(x)=－f(1x)1，则f(x2x1)0对x∈(?∞,1]恒成立，求t的取值范围．

【答案】(1)0(2)略，定义证明(3)t>?1

【解析】(1)令x=y=0，则f(0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0．

(2)令y=－x，则f(0)=f(x)+f(－x)，

∵f(0)=0，∴f(－x)=－f(x)，

∴f(x)为奇函数．

(3)∵f(t3x)>－f(1+2x)，∴f(t3x)>f(－1－2x)，

∴t3x>－1－2x

∴t>?(13)x?(23)x恒成立，

而?(13)x?(23)x单调递增，∴?(13)x?(23)x≤?1

从而t>－1．

挑战学霸<...