指数函数



1指数运算

(1)n次方根与分数指数幂

一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N?.

式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0.

注意：(1)(na)n=a(2)当n是奇数时，nan=a，当n是偶数时，nan=a=a,a≥0?a,a0,m,n∈N?,且n>1)

巧记“子内母外”(根号内的m作分子，根号外的n作为分母)

Egx=x12，3x5=x53.

②正数的正分数指数幂的意义：a?mn=1amn=1nam(a>0,m,n∈N?,且n>1)

③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.

(3)实数指数幂的运算性质

①as?ar=ar+s(a>0,r,s∈R)

②asr=ars(a>0,r,s∈R)

③(ab)r=arbr(a>0,r∈R)

2指数函数概念

一般地，函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.

3图像与性质

函数名称

指数函数

定义

函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数

图象

a>1

00)=.

【答案】a?23

【解析】原式=a12÷a76=a12?76=a?23．

2(★★)如果45x=3，45y=5，那么2x+y=．

【答案】1

【解析】由45x=3，得45x2=9,45y=5，

则452x×45y=9×5=45=1．

∴452x+y=45．∴2x+y=1

故答案为1．

3(★★)已知a+1a=7，则a12+a?12=．

【答案】3

【解析】由a+1a=7，可得a>0，a12+a?12>0，

∴a12+a?12=(a12+a?12)2=7+2=3．

故选：A．

4(★★)(214)12?(?2)0?(278)?23+(32)?2=．

【答案】12

【解析】(214)12?(?2)0?(278)?23+(32)?2=[(32)2]12?1?[(32)3]?23+(23)2

=32?1?49+49=12．

5(★★)求值7+43+7?43=．

【答案】4

【解析】7+43+7?43=2+32+2?32=2+3+2?3=4.

6(★★★)已知实数x,y满足3x+3y=9x+9y，则27x+27y3x+3y的取值范围是.

【答案】1,98

【解析】设3x+3y=t≥23x+y，∴3x+y≤t24，

又3x+3y=9x+9y=(3x+3y)2－2×3x+y，

∴3x+y=t2?t2>0，∴t>1；

∴t2?t2≤t24即t2－2t≤0，解得0≤t≤2；

∴14

C．a?12+b?128

【答案】C

【解析】∵2a=3b=6，∴2ab=6b,3ba=6a，

∴2ab=6b，3ba=6a，

∴2ab3ba=6b6a，

∴6ab=6a+b，

∴ab=a+b，则有ab=a+b≥2ab，

∵a≠b，∴ab>2ab，

∴a+b=ab>4，

∴a－12+b－12=a2+b2－2(a+b)+2>2ab－2(a+b)+2>2，

∵a2+b2>2ab>8，故C错误

故选：C．



【题型二】指数函数的图象及应用

【典题1】函数y=21?x的图象大致是( )

A．B．C．D．

【解析】

方法1函数y=21?x=&2x?1,x>1&21?x,x≤1，

(利用x=x,x≥0?x,x1时，y=2x?1是增函数，当x≤1时，y=21?x的减函数，

且x=1时，y=1，即图象过(1,1)点；

∴符合条件的图象是A．

故选：A．

方法2利用函数的图象变换

去掉y轴左侧图象作关于y轴右侧对称右移1个单位

故选：A．



【典题2】设函数f(x)=|2x?1|，cf(a)>f(b)，判断2a+2c与2的大小关系.

【解析】f(x)=|2x?1|的图象可看成fx=2x向下平移一个单位，再把x轴下方的图象做翻转得到，其图象如下图所示，

由图可知，要使cf(a)>f(b)成立，

则有c0，

故必有2c1，

又fc?f(a)>0，即为1?2c?(2a?1)>0，

∴2a+2c?2)与指数函数y=(12)x的交点个数有( )

A．3个B．2个C．1个D．0个

【答案】C

【解析】因为二次函数y=－x2－4x=－x+22+4(x>－2)，

且x=－1时，y=－x2－4x=3，y=(12)x=2，

则在坐标系中画出y=－x2－4x(x>－2)与y=(12)x的图象：

由图可得，两个函数图象的交点个数是1个，

故选C．



2(★★)若函数y=ax+m?1(00．故选B．

4(★★)已知实数a,b满足等式2a=3b，下列五个关系式：①0y1>y2B．y2>y1>y3C．y1>y2>y3D．y1>y3>y2

【解析】利用幂的运算性质可得，

y1=40.9=21.8，y2=80.48=21.44，y3=12﹣1.5=21.5，

再由y=2x是增函数，知y1>y3>y2．

故选：D．



【典题2】已知a=0.72.1，b=0.72.5．c=2.10.7，则这三个数的大小关系为( )

A．b0.72.5，即a>b．

又∵c=2.10.7>2.10=1，a=0.72.10

则有4t2?12t?16=0，解得t=4,t=?1(舍)

所以2x=4，x=2

故答案为x=2．

【点拨】利用换元法，要注意幂的底数之间的关系，同时换元后t=2x>0是容易忽略的.



【典题2】解不等式：a2x+10)

【解析】∵ax+2+ax?2=a2+1a2ax,

令t=ax

原不等式变形得t2?a2+1a2t+11a2，即a>1时，则1a20，a>0且a≠1．当x∈[?1,1]时，y=f(x)的最大值与最小值之和为52．

(1)求a的值；

(2)若a>1，记函数?x=gx?2mf(x)，求当x∈[0,1]时，?(x)的最小值H(m)．

【解析】(1)∵f(x)在[－1,1]上为单调函数，

f(x)的最大值与最小值之和为a+a?1=52，

∴a=2或12．

(2)∵a>1∴a=2

则?x=22x+m?2m×2x，

令t=2x，

∵x∈[0,1]时，∴t∈[1,2]，

?x=t2?2mt+m，对称轴为t=m(二次函数动轴定区间最值问题)

当02时，Hm=?2=?3m+4．

综上所述，H(m)=?m+1,(02)．

【点拨】本题第二问最后把问题转化为“二次函数在闭区间上的最值问题”中的“动轴定区间”，对对称轴t=m在区间[1,2]“左、中、右”进行分类讨论.



【典题4】已知函数fx=9x?3x+1+c(其中c是常数)．

(1)若当x∈[0,1]时，恒有f(x)0，

故t2?(3+c)t+c=0在[1,3]上不可能有两个相等的实数解，

令?t=t2?(3+c)t+c．

则?1?3≤0，所以?2??2c≤0，解得c≤0．

∴实数c的取值范围是(?∞,0]．

【点拨】利用换元法把问题转化为二次函数问题；恒成立、能成立问题最终转化为最值问题，注意函数单调性.



【典题5】已知定义在(?1,1)上的奇函数f(x)．在x∈(?1,0)时，fx=2x+2?x．

(1)试求f(x)的表达式；

(2...