对数函数



1对数的概念

①概念

一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN.

(a底数，N真数，logaN对数)

②两个重要对数

常用对数以10为底的对数，log10N记为lgN；

自然对数以无理数e为底的对数的对数，logeN记为lnN．

③对数式与指数式的互化

x=logaN?ax=N

对数式指数式

④结论

(1)负数和零没有对数(2)logaa=1，loga1=0.

特别地，lg10=1，lg1=0，lne=1，ln1=0.

2对数的运算

如果a>0，a≠1,M>0,N>0,有

①loga(MN)=logaM+logaN②logaMN=logaM?logaN

③logaMn=nlogaMn∈R④alogaM=M

⑤换底公式

logab=logcblogca(a>0,a≠1,c>0,c≠1,b>0)

利用换底公式推导下面的结论

①logab=1logba②logab?logbc=logac③logambn=nmlogab

特别注意：logaMN≠logaM?logaN，logaM±N≠logaM±logaN

3对数函数

①对数函数的概念

函数y=logax(a>0,a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量.

②图像与性质

图像

a>1

00)，则ff12=.

2(★)lg22+lg5×lg20+20160+0.027?23×13?2=．

3(★★)求值:lg8+lg125?lg2?lg5lg10?lg0.1=．

4(★★)求值:2log214?827?23+lg1100+2?1lg1＝．

5(★★)若a>1，b>1且lg(1+ba)=lgb，则lg(a?1)+lg(b?1)的值．

6(★★★)已知2a=7b=m，1a+12b=12，则m＝ .

7(★★★)已知a>b>1，若logab+logba=52，ab=ba，则ab＝．





【题型二】对数函数的图象及应用

【典题1】函数y=loga(|x|+1)(a>1)的图象大致是( )

A．B．C．D．









【典题2】设a,b,c均为正数，且2a=log12a，(12)b=log12b，(12)c=log2c，则( )

A．a3，若f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，且a0,a≠1)，若x15C．x1+x2>x1x2D．x1+x28，若a,b,c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则abc的取值范围是．

7(★★★)已知函数f(x)=|log2x|，g(x)=12x，若对任意x∈[a,+∞)，总存在两个x0∈[12,4]，

使得g(x)?f(x0)=1，则实数a的取值范围是．





【题型三】对数函数的性质及应用

角度1比较对数式的大小

【典题1】已知a=log27,b=log38,c=0.30.2，则a，b，c的大小关系为( )

A．c0，b>0，则下列叙述正确的是( )

A．若lna?2b>lnb?2a，则a>bB．若lna?2b>lnb－2a，则alnb?2b，则a>bD．若lna?2a>lnb－2b，则a0，且a≠1．

(1)若1是关于x的方程fx?g(x)=0的一个解，求t的值；

(2)当0
(3)若函数Fx=afx+tx2?2t+1在区间(?1,2]上有零点，求t的取值范围．