对数函数



1对数的概念

①概念

一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN.

(a底数，N真数，logaN对数)

②两个重要对数

常用对数以10为底的对数，log10N记为lgN；

自然对数以无理数e为底的对数的对数，logeN记为lnN．

③对数式与指数式的互化

x=logaN?ax=N

对数式指数式

④结论

(1)负数和零没有对数(2)logaa=1，loga1=0.

特别地，lg10=1，lg1=0，lne=1，ln1=0.

2对数的运算

如果a>0，a≠1,M>0,N>0,有

①loga(MN)=logaM+logaN②logaMN=logaM?logaN

③logaMn=nlogaMn∈R④alogaM=M

⑤换底公式

logab=logcblogca(a>0,a≠1,c>0,c≠1,b>0)

利用换底公式推导下面的结论

①logab=1logba②logab?logbc=logac③logambn=nmlogab

特别注意：logaMN≠logaM?logaN，logaM±N≠logaM±logaN

3对数函数

①对数函数的概念

函数y=logax(a>0,a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量.

②图像与性质

图像

a>1

01．

则x=log3k=lgklg3，y=log4k=lgklg4，z=log12k=lgklg12．

(利用换底公式，把数值化为同底，有利于x+yz求值去掉k)

∴x+yz=lgklg3+lgklg4lgklg12=lg12?lg12lg3?lg4=lg3+lg42lg3?lg4=lg3lg4+lg4lg3+2，

(∵x+yz∈(n,n+1)，∴要对lg3lg4+lg4lg3+2进行估值，要把其值的整数部分求出)

∵02(利用对勾函数可得)

∴lg3lg4+lg4lg3+2>4，

∵lg4lg30)，则ff12=.

【答案】13

【解析】∵f(x)=&3x(x≤0)&log2x(x>0)，∴f(12)=log212=?1．

则f[f(12)]=f(?1)=3?1=13．

2(★)lg22+lg5×lg20+20160+0.027?23×13?2=．

【答案】102

【解析】lg22+lg5lg20+20160+0.027?23×13?2

＝lg22+lg5(2lg2+lg5)+1+[0.33]?23×9

=lg2+lg52+1+10.09×9

=1+1+100

=102．

3(★★)求值:lg8+lg125?lg2?lg5lg10?lg0.1=．

【答案】?4

【解析】lg8+lg125?lg2?lg5lg10?lg0.1=3lg2+3lg5?lg2?lg512lg10?lg110=2(lg2+lg5)?12=?4

4(★★)求值:2log214?827?23+lg1100+2?1lg1＝．

【答案】?3

【解析】2log214?827?23+lg1100+2?1lg1

=14?233?23?2+2?10

=14?94?2+1

＝?3．

故答案为：?3．

5(★★)若a>1，b>1且lg(1+ba)=lgb，则lg(a?1)+lg(b?1)的值．

【答案】0

【解析】∵a>1，b>1且lg(1+ba)=lgb，

∴1+ba=b，∴a+b=ab，

∴lg(a?1)+lg(b?1)=lg[(a?1)(b?1)]=lg(ab?a?b+1)=lg1=0．

故选：C．

6(★★★)已知2a=7b=m，1a+12b=12，则m＝ .

【答案】28

【解析】∵2a=7b=m，∴a=log2m，b=log7m，

∵1a+12b=12，∴logm2+12×logm7=logm(27)=12，

∴m=27，解得m=28．

故答案为28．

7(★★★)已知a>b>1，若logab+logba=52，ab=ba，则ab＝．

【答案】8

【解析】∵logab+logba=52；

∴1logba+logba=1+(logba)2logba=52；

∴2(logba)2?5logba+2=0；解得logba=12或logba=2；

∵a>b>1；∴logba>1；∴logba=2；∴a=b2；

又ab=ba；

∴b2b=bb2；∴b2=2b；∴b=2或b=0(舍去)；∴a=4；

∴ab=8．

故答案为：8．



【题型二】对数函数的图象及应用

【典题1】函数y=loga(|x|+1)(a>1)的图象大致是( )

A．B．C．D．

【解析】方法1

y=loga(|x|+1)=logax+1,x≥0loga?x+1,x1，由对数函数的性质易得选B.

方法2函数图象变换

左移1个单位去掉y轴左侧图象作关于y轴右侧对称

故选B．

【点拨】涉及对数函数型的函数y=f(x)，往往需要得到其图象，方法有

①利用要相应指数函数的图象通过平移、对称、翻转变换得其图象；

②利用去掉绝对值得到分段函数得其图象.



【典题2】设a,b,c均为正数，且2a=log12a，(12)b=log12b，(12)c=log2c，则( )

A．a3，若f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，且a3的图象，如图



∵a,b,c,d互不相同，不妨设a1)，

又因为01，

又知道f(a)=f(b)，

∴－lna=lnb，即1a=b，

∴设t=a+5b=a+5a，

∵由对勾函数的性质可知,t在(0,1)上单调递减，∴t>1+5=6，即a+5b>6，

故选：C．

4(★★)已知函数f(x)=|loga|x?1||(a>0,a≠1)，若x15C．x1+x2>x1x2D．x1+x22，

则f(x1)=|log2x1－1|=－log2x1－1,f(x2)=|log2(x2－1)|=log2(x2－1)，

则f(x2)－f(x1)=log2x2－1+log2x1－1=log2(x1－1)(x2－1)=(12)x2?(12)x1x1x2，

故选：C．



6(★★★)已知函数f(x)=|log2x|,08，若a,b,c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则abc的取值范围是．

【答案】8,20

【解析】根据已知画出函数图象：

不妨设alog24=2，c=0.30.2log2243=43=b,b=43=log3343>log34=c，

∴a,b,c的大小关系为clog24=2，(初步估值)

∴b最大，a、c都小于1，(b,c还比较不出来，进一步估值)

∵a=log52=1log2512

∴a0”这点.



角度3对数型函数综合问题

【典题1】函数y=log12(x2?6x+17)的值域是.

【解析】∵t=x2?6x+17=x?32+8≥8

∴内层函数的值域[8,+∞),

而y=log12t在[8,+∞)是减函数，故y≤log128=?3

∴函数y=log12(x2?6x+17)的值域是(?∞,?3].

【点拨】复合函数的值域先求内层函数值域再求外层函数.



【典题2】已知函数f(x)是R上的奇函数，且满足fx+2=?f(x)，当x∈(0,1]时，fx=2x?1，则方程f(x)=log7|x?2|解的个数是.

【解析】函数f(x)是R上的奇函数，f(0)=0，

由fx+2=?f(x)，可得f(x+2)=f(?x)，∴f(x)的有条对称轴x=1，

由fx+2=?f(x)，可得f(x+4)=f(x)，∴f(x)的周期T=4．

(注由以上已知，较容易画出y=f(x)的图象，作图步骤如下

①画fx=2x－1,x∈(0,1)②根据奇函数的性质③由对称轴x=1可得