函数的应用



1函数模型

一次函数

y=ax+b(a≠0)

二次函数

y=ax2+bx+c(a≠0)

指数函数

y=ax(a>0且a≠1)

指数型函数

y=k?ax(a>0且a≠1)

对数函数

y=logax(a>0且a≠1)

对数型函数

y=k?logax(a>0且a≠1)

幂函数

y=xn(n∈N?)

幂函数型

y=k?xn(n∈N?)

2增长快慢比较

V(ax)>V(xn)>V(logax)，Vkx>V(logax)

常见函数图象



3函数的零点

①函数零点的概念

对于函数y=f(x)，使f(x)=0的实数x叫做函数的零点.

②方程根与函数零点的关系

方程fx=0有实数根x0?函数y=fx有零点x0?函数y=f(x)的图象与x轴有交点，且交点横坐标为x0.

如方程2x?4=0的实数根是x=2，

函数fx=2x?4与x轴的交点横坐标是2，

函数fx=2x?4的零点是2，而不是(2,0).

拓展

方程f(x)=g(x)有实数根x0?函数y=f(x)与函数y=g(x)有交点，且交点横坐标为x0.

解惑若让你求解x2?2x=0?可能知道x=2，那是否只有一个实数根呢？

而方程x2?2x=0的实数根?函数fx=x2与函数gx=2x的交点横坐标

如图就较容易得到，方程x2?2x=0实数根有3个x1∈?1,0,x2=2,x3=4.



③求函数零点方法

(1)(代数法)求方程f(x)=0的实数根.

(2)(几何法)利用函数的图象，根据函数的性质判断零点是否存在或找出零点位置.

4函数零点定理

如果函数y=f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的，且f(a)f(b)0)，通过x块这样的玻璃以后强度为y，则y=k?0.9x(x∈N?)，那么光线强度减弱到原来的13以下时，至少通过这样的玻璃块数为( )(参考数据：1g3≈0.477)

A．9B．10C．11D．12

3(★★)某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为42，48，52．为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y=ax2+bx+c，乙选择了模型y=pqx+r，其中y为患病人数，x为月份数，a,b,c,p,q,r都是常数．结果4月，5月，6月份的患病人数分别为54，57，58．

(1)求a,b,c,p,q,r的值；(2)你认为谁选择的模型好．







4(★★)某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14,40]时，曲线是函数y=loga(t?5)+83(a>0,且a≠1)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳．

(1)试求p=f(t)的函数关系式；

(2)一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．





5(★★)培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质N．已知向水中每投放1个单位的物质N,x(单位：天)时刻后水中含有物质N的量增加ymol/L，y与x的函数关系可近似地表示为y=8?16x+2,0≤x≤612?x,60x2+4x+1,x≤0，若函数Fx=fx?b有四个不同的零点x1，x2，x3，x4(x10,且m≠1)有两个不同实数根，则m的取值范围是．

4(★★)设a、b、c依次表示函数f(x)=x12?x+1，g(x)=log12x?x+1，?(x)=(12)x?x+1的零点，则a、b、c的大小关系为．

5(★★★)已知函数f(x)=log3x，函数?(x)是最小正周期为2的偶函数，且当x∈[0,1]时，?x=3x?1．若函数y=k?f(x)+?(x)有3个零点，则实数k的取值范围是．

6(★★★)已知函数f(x)=|5x?1|,x<18x+1,x≥1，若方程f(f(x))=a恰有5个不同的实数根，则实数a的取值范围为．





【题型五】函数零点定理

【典题1】设函数f(x)=2xx+1+lnx满足f(a)f(b)f(c)<0(a
A．x0∈(a,c)B．x0∈(a,b)C．x0∈(b,c)D．x0∈(c,+∞)















【典题2】[x]表示不超过x的最大整数，例如3.5=3，－0.5=?1．已知x0是方程lnx+3x－15=0的根，则[x0]=．















【题型六】二分法

【典题1】用二分法求函数fx=lnx+1+x?1在区间[0,1]上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为．















巩固练习

1(★)设函数f(x)=ex+lnx，满足fafbfc<0(a
则下列选项中一定错误的是( )

A．x0∈(a,c)B．x0∈(a,b)C．x0∈(b,c)D．x0∈(c,+∞)

2(★★)[多选题]函数fx=x3+3x?2的一个正零点所在的区间不可能是( )

A．(3,4)B．(2,3)C．(1,2)D．(0,1)

3(★★)已知函数f(x)=log2x+x﹣b的零点在区间[0,1]上，则b的取值范围为．

4(★★)若函数f(x)=x2+tx+1在区间(1,2)上有一个零点，则实数t的取值范围是．