函数的应用



1函数模型

一次函数

y=ax+b(a≠0)

二次函数

y=ax2+bx+c(a≠0)

指数函数

y=ax(a>0且a≠1)

指数型函数

y=k?ax(a>0且a≠1)

对数函数

y=logax(a>0且a≠1)

对数型函数

y=k?logax(a>0且a≠1)

幂函数

y=xn(n∈N?)

幂函数型

y=k?xn(n∈N?)

2增长快慢比较

V(ax)>V(xn)>V(logax)，Vkx>V(logax)

常见函数图象



3函数的零点

①函数零点的概念

对于函数y=f(x)，使f(x)=0的实数x叫做函数的零点.

②方程根与函数零点的关系

方程fx=0有实数根x0

?函数y=fx有零点x0

?函数y=f(x)的图象与x轴有交点，且交点横坐标为x0.

如方程2x?4=0的实数根是x=2，

函数fx=2x?4与x轴的交点横坐标是2，

函数fx=2x?4的零点是2，而不是(2,0).

拓展

方程f(x)=g(x)有实数根x0?函数y=f(x)与函数y=g(x)有交点，且交点横坐标为x0.

解惑若让你求解x2?2x=0?可能知道x=2，那是否只有一个实数根呢？

而方程x2?2x=0的实数根?函数fx=x2与函数gx=2x的交点横坐标

如图就较容易得到，方程x2?2x=0实数根有3个x1∈?1,0,x2=2,x3=4.



③求函数零点方法

(1)(代数法)求方程f(x)=0的实数根.

(2)(几何法)利用函数的图象，根据函数的性质判断零点是否存在或找出零点位置.

4函数零点定理

如果函数y=f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的，且f(a)f(b)0)，通过x块这样的玻璃以后强度为y，则y=k?0.9x(x∈N?)，那么光线强度减弱到原来的13以下时，至少通过这样的玻璃块数为( )(参考数据：1g3≈0.477)

A．9B．10C．11D．12

【答案】C

【解析】设通过这样的玻璃x块，则由题意得k?0.9x0)，化得0.9xlg13lg0.9=?lg32lg3?1≈?0.477?0.046≈10.37，

则至少通过11块玻璃，

故选：C．

3(★★)某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为42，48，52．为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y=ax2+bx+c，乙选择了模型y=pqx+r，其中y为患病人数，x为月份数，a,b,c,p,q,r都是常数．结果4月，5月，6月份的患病人数分别为54，57，58．

(1)求a,b,c,p,q,r的值；(2)你认为谁选择的模型好．

【答案】(1)a=?1，b=9，c=34,p=?27，q=23，r=60(2)乙模型

【解析】(1)由甲模型：令y=f(x)=ax2+bx+c，

可得：a+b+c=42，4a+2b+c=48，9a+3b+c=52，

解得a=－1，b=9，c=34．

由乙模型：设y=pqx+r，

可得：g(1)=pq+r=42，g(2)=pq2+r=48，g(3)=pq3+r=52，

解得p=－27，q=23，r=60．

(2)由(1)可得：f(x)=－x2+9x+34，

∴f(4)=－42+9×4+34=54，

f(5)=－52+9×5+34=540,且a≠1)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳．

(1)试求p=f(t)的函数关系式；

(2)一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．



【答案】(1)f(t)=?14(t?12)2+82,t∈(0,14]log13(t?5)+83,t∈(14,40]

(2)教师能够合理安排时间讲完题目

【解析】(1)当t∈(0,14]时，设p=ft=ct－122+82(c22，

所以教师能够合理安排时间讲完题目．

5(★★)培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质N．已知向水中每投放1个单位的物质N,x(单位：天)时刻后水中含有物质N的量增加ymol/L，y与x的函数关系可近似地表示为y=8?16x+2,0≤x≤612?x,60x2+4x+1,x≤0，若函数Fx=fx?b有四个不同的零点x1，x2，x3，x4(x10?2?t0，解得?120,且m≠1)有两个不同实数根，则m的取值范围是．

【答案】m>1

【解析】方程mx－x－m=0有两个不同实数根，等价于函数y=mx与y=x+m的图象有两个不同的交点．

当m>1时，如图(1)有两个不同交点；



当00，则y=?(x)与y=－k?log3x的函数图象只有1个交点，不符合题意；

若－k=0，即k=0，则y=?(x)与y=－k?log3x的函数图象有无数多个交点，不符合题意；

若－k>0，即k2，

解得：－24，显然无解．

综上，850}，函数是增函数，

满足f(a)f(b)f(c)0,

故x0∈(4,5)，所以[x0]=4，

【点拨】

①若f(x)在[a,b]上是单调函数，则它在[a,b]上至多只有一个零点.

②求函数零点的近似值，可利用代入一些数值进行逼近，再用函数的零点判断定理确认零点的范围.



【题型六】二分法

【典题1】用二分法求函数fx=lnx+1+x?1在区间[0,1]上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为．

【解析】根据题意，原来区间[0,1]的长度等于1，每经过二分法的一次操作，区间长度变为

原来的一半，则经过n次操作后，区间的长度为12n，若12n0}，函数是增函数，

满足f(a)f(b)f(c)0，

f(2)=12>0，f(3)=34>0，f(4)=76>0，

所以f(0)0，

所以函数的零点在(0,1)，

故选：ABC．

3(★★)已知函数f(x)=log2x+x﹣b的零点在区间[0,1]上，则b的取值范围为．

【答案】(?∞,1]

【解析】因为函数f(x)=log2x+x﹣b的零点在区间(0,1]上是单调递增，

函数f(x)=log2x+x﹣b的零点在区间(0,1]上，

x→0，log2x+x→﹣∞，f(x)0可得△=t2－4>0，可得t>2或t<－2，

∴f(1)f(2)<0，

可得(t+2)(5+2t)<0，解得－52
综上－52
故答案为：－52