5.1 任意角和弧度制-新教材人教A版必修第一册练习(教师版) 人教版
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文件简介::
任意角和弧度制
1任意角
①角的定义与分类
(1)角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
如下图，一条射线的端点是O，从起始位置OA按逆时针旋转到终止位置OB，形成角α，射线OA,OB分别是角α的始边和终边.
(2)逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角.
如下图α=210°,β=?150°,γ=?660°.
②终边相等的角
与角α终边相同的角的集合为ββ=α+k?360°,k∈Z}.
PS表达式中的k∈Z不能漏！
③象限角的概念
角α的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角.
PSα终边落在坐标轴上，不能称α为象限角.
2弧度制
①弧度的定义
弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad.
即:半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为αrad，那么
|α|=lr
②角度与弧度的转化
180°=π?1°=π180≈0.017451=180π°≈57.30°
③特殊角的角度与弧度对应表
角度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
0
π6
π4
π3
π2
2π3
3π4
5π6
π
3π2
2π
④弧长与扇形面积计算公式
弧长l=|α|?R；扇形面积S=12lR=12αR2，(R为圆的半径)
注α为弧度制.
【题型一】角的集合表示及象限角的判定
【典题1】已知集合M={锐角}，N={小于90°的角}，P={第一象限的角}，下列说法：
①P?N，②N∩P=M，③M?P，④(M∪N)?P.
其中正确的是．
【解析】锐角的范围为0°0)，所在圆的半径是R．
(1)若α=60°，R=10cm，求扇形的弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是一定值c(c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
【解析】(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，
∵α=60°=π3,R=10，∴S扇=12αR2=50π3，
∴S弓=S扇－S△=50π3?12×10×10×sin60°=50π3?253(cm2)．
(2)法一∵扇形周长c=2R+l=2R+αR，
∴R=c2+α，
∴S扇=12αR2=12αc2+α2=c22?α4+4α+α2=c22?14+α+4α≤c22?14+4=c216．
(利用基本不等式)
∴当且仅当α=4α，即α=2时，扇形面积有最大值c216．
法二：由已知2R+l=c，∴R=c?l2(lS2
【答案】A
【解析】如图所示，
∵直线l与圆O相切，∴OA⊥AP，
∴S扇形AOQ=12?AQ?r=12?AQ?OA，S△AOP=12?OA?AP，
∵AQ=AP，
∴S扇形AOQ=S△AOP，即S扇形AOQ－S扇形AOB=S△AOP－S扇形AOB，
∴S1=S2．
故选：A．
6(★★)与－2014°终边相同的最小正角是．
【答案】146°
【解析】∵－2014°=－6×360°+146°，
∴146°与－2014°终边相同，又终边相同的两个角相差360°的整数倍，
∴在[0°，360°)上，只有146°与－2014°终边相同，
∴与－2014°终边相同的最小正角是146°，
故答案为：146°．
7(★★)中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画．如图，是书画家唐寅(1470－1523)的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为cm2．
【答案】704
【解析】如图，设∠AOB=θ，OA=OB=r，
由题意可得：24=rθ64=(r+16)θ，解得：r=485，
所以S扇面=S扇形OCD－S扇形OAB=12×64×(485+16)?12×24×485=704cm2．
故答案为：704．
8(★★)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm，圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的高
为cm．
【答案】423
【解析】设此圆的底面半径为r，高为?，母线为l，
∵圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm，圆心角为2π3的扇形，
∴l=2，得2πr=2π3×l=4π3，解之得r=23，
因此，此圆锥的高?=l2?r2=22?(23)2=423cm．
故答案为：423．
挑战学霸
河南大学自招真题
我们知道当12点时，闹钟的3个指针完全重合，请说出除了12点外，是否还有其他时间，3针完全重合.如有请举出；若无，给出理由.
【解析】每小时时针、分针旋转一次，速度为时针0.5°/min,分针6°/min，相差5.5°/min，
故在n时00分至(n+1)时00分之间，时针和分针完全重合的时刻为n时60n11分，它们是：
1时5分27.27秒 2时10分54.54秒3时16分21.82秒4时21分49.09秒
5时27分16.36秒6时32分43.64秒7时38分10.91秒 8时43分38.18秒
9时49分5.45秒10时54分32.73秒 12时00分00秒
这些时刻里除了12时外，“分”和“秒“的值相差都很大，分针和秒针显然不可能重合.所以仅在12时三针重合.
1任意角
①角的定义与分类
(1)角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
如下图，一条射线的端点是O，从起始位置OA按逆时针旋转到终止位置OB，形成角α，射线OA,OB分别是角α的始边和终边.
(2)逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角.
如下图α=210°,β=?150°,γ=?660°.
②终边相等的角
与角α终边相同的角的集合为ββ=α+k?360°,k∈Z}.
PS表达式中的k∈Z不能漏！
③象限角的概念
角α的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角.
PSα终边落在坐标轴上，不能称α为象限角.
2弧度制
①弧度的定义
弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad.
即:半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为αrad，那么
|α|=lr
②角度与弧度的转化
180°=π?1°=π180≈0.017451=180π°≈57.30°
③特殊角的角度与弧度对应表
角度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
0
π6
π4
π3
π2
2π3
3π4
5π6
π
3π2
2π
④弧长与扇形面积计算公式
弧长l=|α|?R；扇形面积S=12lR=12αR2，(R为圆的半径)
注α为弧度制.
【题型一】角的集合表示及象限角的判定
【典题1】已知集合M={锐角}，N={小于90°的角}，P={第一象限的角}，下列说法：
①P?N，②N∩P=M，③M?P，④(M∪N)?P.
其中正确的是．
【解析】锐角的范围为0°0)，所在圆的半径是R．
(1)若α=60°，R=10cm，求扇形的弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是一定值c(c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
【解析】(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，
∵α=60°=π3,R=10，∴S扇=12αR2=50π3，
∴S弓=S扇－S△=50π3?12×10×10×sin60°=50π3?253(cm2)．
(2)法一∵扇形周长c=2R+l=2R+αR，
∴R=c2+α，
∴S扇=12αR2=12αc2+α2=c22?α4+4α+α2=c22?14+α+4α≤c22?14+4=c216．
(利用基本不等式)
∴当且仅当α=4α，即α=2时，扇形面积有最大值c216．
法二：由已知2R+l=c，∴R=c?l2(lS2
【答案】A
【解析】如图所示，
∵直线l与圆O相切，∴OA⊥AP，
∴S扇形AOQ=12?AQ?r=12?AQ?OA，S△AOP=12?OA?AP，
∵AQ=AP，
∴S扇形AOQ=S△AOP，即S扇形AOQ－S扇形AOB=S△AOP－S扇形AOB，
∴S1=S2．
故选：A．
6(★★)与－2014°终边相同的最小正角是．
【答案】146°
【解析】∵－2014°=－6×360°+146°，
∴146°与－2014°终边相同，又终边相同的两个角相差360°的整数倍，
∴在[0°，360°)上，只有146°与－2014°终边相同，
∴与－2014°终边相同的最小正角是146°，
故答案为：146°．
7(★★)中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画．如图，是书画家唐寅(1470－1523)的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为cm2．
【答案】704
【解析】如图，设∠AOB=θ，OA=OB=r，
由题意可得：24=rθ64=(r+16)θ，解得：r=485，
所以S扇面=S扇形OCD－S扇形OAB=12×64×(485+16)?12×24×485=704cm2．
故答案为：704．
8(★★)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm，圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的高
为cm．
【答案】423
【解析】设此圆的底面半径为r，高为?，母线为l，
∵圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm，圆心角为2π3的扇形，
∴l=2，得2πr=2π3×l=4π3，解之得r=23，
因此，此圆锥的高?=l2?r2=22?(23)2=423cm．
故答案为：423．
挑战学霸
河南大学自招真题
我们知道当12点时，闹钟的3个指针完全重合，请说出除了12点外，是否还有其他时间，3针完全重合.如有请举出；若无，给出理由.
【解析】每小时时针、分针旋转一次，速度为时针0.5°/min,分针6°/min，相差5.5°/min，
故在n时00分至(n+1)时00分之间，时针和分针完全重合的时刻为n时60n11分，它们是：
1时5分27.27秒 2时10分54.54秒3时16分21.82秒4时21分49.09秒
5时27分16.36秒6时32分43.64秒7时38分10.91秒 8时43分38.18秒
9时49分5.45秒10时54分32.73秒 12时00分00秒
这些时刻里除了12时外，“分”和“秒“的值相差都很大，分针和秒针显然不可能重合.所以仅在12时三针重合.
