5.2 任意角的三角函数-新教材人教A版必修第一册练习(教师版) 人教版
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文件简介::
任意角的三角函数
1任意角的三角函数的概念
设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).
①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα；
②把点P的纵坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα；
③把点P的纵坐标yx叫做α的正切函数，记作tanα，即yx=tanα(x≠0).
正弦函数fx=sinx,x∈R；余弦函数fx=cosx,x∈R；正切函数fx=tanx,x≠kπ，
它们统称三角函数.
2三角函数在各个象限的符号
各象限点坐标的符号
α
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
sinα
+
+
－
－
cosα
+
－
－
+
tanα
+
－
+
－
根据三角函数定义可知它们在各个象限符号
(设α的终边上一点Px,y，sinα符号看y，cosα符号看x，tanα符号看yx)
3特殊角的三角函数值表
α
0
π6
π4
π3
π2
2π3
3π4
5π6
π
3π2
2π
sinα
0
12
22
32
1
32
22
12
0
?1
0
cosα
1
32
22
12
0
?12
?22
?32
?1
0
1
tanα
0
33
1
3
－
?3
?1
?33
0
－
0
利用三角函数的定义求α=0、π2、π、2π时对应的三角函数值.
Eg如图所示，α=π的终边在x轴的负半轴，与x轴交点为P(?1,0)，
则sinπ=0，cosπ=?1，tanπ=0.
4同角三角函数基本关系式
sin2α+cos2α=1tanα=sinαcosα
拓展sinα+cosα2=1+2sinαcosα；sinα?cosα2=1?2sinαcosα.
【题型一】求三角函数值
【典题1】已知角α的终边与单位圆的交点为P(?45,35)，则2sinα+tanα=.
【解析】角α的终边与单位圆的交点为P(?45,35)，则sinα=35，tanα=?34，
则2sinα+tanα=65?34=920．
【典题2】已知角θ的始边为x轴非负半轴，终边经过点P(1,2)，则sinθsinθ+cosθ=.
【解析】∵角θ的始边为x轴非负半轴，终边经过点P(1,2)，
∴tanθ=2，则sinθsinθ+cosθ=tanθtanθ+1=22+1=23，
【点拨】
①P(1,2)不在单位圆上，故sinθ≠2，cosθ≠1.
②设α是任意角，它的终边上任意一点P(x,y)，它与原点的距离是r，
则sinα=yr,cosα=xr,tanα=yx.
【题型二】确认三角函数的符号
【典题1】sin2?cos3?tan4的值（）
A．小于0B．大于0C．等于0D．不存在
【解析】因为π20，cos30，
从而sin2?cos3?tan40，可得sinθcosθ=a0B．cosθ2>0C．tanθ2>0D．sinθ2cosθ20．故选：C．
3(★)已知cosα=?45，且α为第二象限角，那么tanα=.
【答案】?34
【解析】∵cosα=?45，且α为第二象限角，
∴sinα=1?cos2α=35，则tanα=sinαcosα=?34，
4(★)如果角θ满足sinθ+cosθ=2，那tanθ+1tanθ=.
【答案】2
【解析】∵sinθ+cosθ=2，∴1+2sinθcosθ=2，即sinθcosθ=12，
那么tanθ+1tanθ=sinθcosθ+cosθsinθ=1sinθcosθ=2，
5(★★)已知α∈(π2,π)，且sinα+cosα=15，则sinα－cosα=.
【答案】75
【解析】∵sinα+cosα=15，
∴两边平方，可得1+2sinαcosα=125，可得2sinαcosα=?2425，
∵α∈(π2,π)，
∴可得sinα>0，cosα0，
∴sinα－cosα=(sinα?cosα)2=1?2sinαcosα=1?(?2425)=75．
6(★★)若α∈(π2,π)，且cos2α?sinα=14，则tanα=.
【答案】?33
【解析】∵cos2α?sinα=14，∴4(1－sin2α)－4sinα－1=0，
即4sin2α+4sinα－3=0，∴解得sinα=12或sinα=?32(舍)．
∵α∈(π2,π)，∴α=5π6，∴tanα=tan5π6=?33．
7(★★)已知tanα=2，则1sin2α?cos2α=.
【答案】53
【解析】∵tanα=2，
∴1sin2α?cos2α=sin2α+cos2αsin2α?cos2α=tan2α+1tan2α?1=4+14?1=53．
8(★★)若cosθ－2sinθ=1，则tanθ=.
【答案】0或43
【解析】∵cosθ－2sinθ=1，且sin2θ+cos2θ=1，
∴5sin2θ+4sinθ=0，∴sinθ=0或?45，
∴cosθ=1或?35，则tanθ=0或43.
挑战学霸
若0
【解析】如上图，在单位圆中，sinx=AB，tanx=CD，x=AD，
显然sinx
1任意角的三角函数的概念
设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).
①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα；
②把点P的纵坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα；
③把点P的纵坐标yx叫做α的正切函数，记作tanα，即yx=tanα(x≠0).
正弦函数fx=sinx,x∈R；余弦函数fx=cosx,x∈R；正切函数fx=tanx,x≠kπ，
它们统称三角函数.
2三角函数在各个象限的符号
各象限点坐标的符号
α
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
sinα
+
+
－
－
cosα
+
－
－
+
tanα
+
－
+
－
根据三角函数定义可知它们在各个象限符号
(设α的终边上一点Px,y，sinα符号看y，cosα符号看x，tanα符号看yx)
3特殊角的三角函数值表
α
0
π6
π4
π3
π2
2π3
3π4
5π6
π
3π2
2π
sinα
0
12
22
32
1
32
22
12
0
?1
0
cosα
1
32
22
12
0
?12
?22
?32
?1
0
1
tanα
0
33
1
3
－
?3
?1
?33
0
－
0
利用三角函数的定义求α=0、π2、π、2π时对应的三角函数值.
Eg如图所示，α=π的终边在x轴的负半轴，与x轴交点为P(?1,0)，
则sinπ=0，cosπ=?1，tanπ=0.
4同角三角函数基本关系式
sin2α+cos2α=1tanα=sinαcosα
拓展sinα+cosα2=1+2sinαcosα；sinα?cosα2=1?2sinαcosα.
【题型一】求三角函数值
【典题1】已知角α的终边与单位圆的交点为P(?45,35)，则2sinα+tanα=.
【解析】角α的终边与单位圆的交点为P(?45,35)，则sinα=35，tanα=?34，
则2sinα+tanα=65?34=920．
【典题2】已知角θ的始边为x轴非负半轴，终边经过点P(1,2)，则sinθsinθ+cosθ=.
【解析】∵角θ的始边为x轴非负半轴，终边经过点P(1,2)，
∴tanθ=2，则sinθsinθ+cosθ=tanθtanθ+1=22+1=23，
【点拨】
①P(1,2)不在单位圆上，故sinθ≠2，cosθ≠1.
②设α是任意角，它的终边上任意一点P(x,y)，它与原点的距离是r，
则sinα=yr,cosα=xr,tanα=yx.
【题型二】确认三角函数的符号
【典题1】sin2?cos3?tan4的值（）
A．小于0B．大于0C．等于0D．不存在
【解析】因为π20，cos30，
从而sin2?cos3?tan40，可得sinθcosθ=a0B．cosθ2>0C．tanθ2>0D．sinθ2cosθ20．故选：C．
3(★)已知cosα=?45，且α为第二象限角，那么tanα=.
【答案】?34
【解析】∵cosα=?45，且α为第二象限角，
∴sinα=1?cos2α=35，则tanα=sinαcosα=?34，
4(★)如果角θ满足sinθ+cosθ=2，那tanθ+1tanθ=.
【答案】2
【解析】∵sinθ+cosθ=2，∴1+2sinθcosθ=2，即sinθcosθ=12，
那么tanθ+1tanθ=sinθcosθ+cosθsinθ=1sinθcosθ=2，
5(★★)已知α∈(π2,π)，且sinα+cosα=15，则sinα－cosα=.
【答案】75
【解析】∵sinα+cosα=15，
∴两边平方，可得1+2sinαcosα=125，可得2sinαcosα=?2425，
∵α∈(π2,π)，
∴可得sinα>0，cosα0，
∴sinα－cosα=(sinα?cosα)2=1?2sinαcosα=1?(?2425)=75．
6(★★)若α∈(π2,π)，且cos2α?sinα=14，则tanα=.
【答案】?33
【解析】∵cos2α?sinα=14，∴4(1－sin2α)－4sinα－1=0，
即4sin2α+4sinα－3=0，∴解得sinα=12或sinα=?32(舍)．
∵α∈(π2,π)，∴α=5π6，∴tanα=tan5π6=?33．
7(★★)已知tanα=2，则1sin2α?cos2α=.
【答案】53
【解析】∵tanα=2，
∴1sin2α?cos2α=sin2α+cos2αsin2α?cos2α=tan2α+1tan2α?1=4+14?1=53．
8(★★)若cosθ－2sinθ=1，则tanθ=.
【答案】0或43
【解析】∵cosθ－2sinθ=1，且sin2θ+cos2θ=1，
∴5sin2θ+4sinθ=0，∴sinθ=0或?45，
∴cosθ=1或?35，则tanθ=0或43.
挑战学霸
若0
【解析】如上图，在单位圆中，sinx=AB，tanx=CD，x=AD，
显然sinx