诱导公式



1诱导公式

(1)公式(一)sinα+2kπ=sinα;cos(α+2kπ)=cosα;tan(α+2kπ)=tanα.

(2)公式(二)sin(π+α)=?sinα;cos(π+α)=?cosα;tan(π+α)=tanα.

若P1(x,y)，则P2(?x,?y).

(3)公式(三)sin(?α)=?sinα;cos(?α)=cosα;tan(?α)=?tanα.

若P1(x,y)，则P3(x,?y).

(4)公式(四)sin(π?α)=sinα;cos(π?α)=?cosα;tan(π?α)=?tanα.

若P1(x,y)，则P4(?x,y).

(5)公式(五)sin(π2?α)=cosα;cos(π2?α)=sinα.

若P1(x,y)，则P5(y,x).





(6)公式(六)sin(π2+α)=cosα;cos(π2+α)=?sinα.

若P1(x,y)，则P6(?y,x).

利用以上6组公式，最好结合图象，利用对称性和全等三角形进行理解消化.

2诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限

(奇偶指的是π2?n+α中整数n是奇数还是偶数，看象限时把α看作锐角)

sinπ2?n+α=(?1)n2sinα,n为偶数?1n+12cosα,n为奇数cos(π2?n+α)=(?1)n2cosα,n为偶数?1n+12sinα,n为奇数





【题型一】求具体角度的三角函数值

【典题1】sin780°+cos210°+tan225°的值为．

【解析】sin780°+cos210°+tan225°

=sin(720°+60°)+cos(180°+30°)+tan(180°+45°)

=sin60°?cos30°+tan45°

=32?32+1=1.

【点拨】角度负角化正角，大角化小角，小角化锐角.



【题型二】诱导公式的使用

【典题1】设f(n)=cos(nπ2+π4)，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)等于．

【解析】∵f(n+4)=cos[(n+4)π2+π4]=cos(nπ2+π4),

∴f(n)是以4为周期的函数，

又f(1)=?22,f(2)=?22,f(3)=22,f(4)=22,

∴f1+f2+f3+…+f2018

=504f1+f2+f3+f4+f1+f2=?2．

【点拨】数值比较大项数比较多的时候，注意周期性.



【典题2】已知cos(π6?α)=34，则sin(α?2π3)=．

【解析】∵cos(π6?α)=34，

∴sinα?2π3=sin?π2?π6?α=?cos(π6?α)=?34.

【点拨】

①注意到(π6?α)+(α?2π3)=?π2是π2的倍数，则可利用诱导公式，这属于整体代换，相当于令π6?α=t.

②对公式的理解要注意一点:比如诱导公式sin(π2+α)=cosα中的α其实它可以是一数(如π4、π3)、一字母(如β、θ)或者一式子(如α2、β+π3)，利用公式要特别灵活.



【典题3】已知g(θ)=cos(?θ?π2)?sin(7π2+θ)sin(2π?θ)．

(1)化简g(θ)；

(2)若g(π3+θ)=13,θ∈(π6,7π6)，求g(5π6+θ)的值；

(3)若g32π?θ?g(θ)=13,θ∈(?π2,π2)，求gθ?g(π2?θ)的值．

【解析】1g(θ)=cos(θ+π2)sin(4π?π2+θ)sin(?θ)=?sinθ(?cosθ)?sinθ=?cosθ；

2∵θ∈π6,7π6，∴π3+θ∈(π2,3π2)，

∵gπ3+θ=?cos(π3+θ)=13，即cos(π3+θ)=?13；

∴g5π6+θ=?cos5π6+θ=?cos(π2+π3+θ)=sin(π3+θ)；

∴当π3+θ∈(π2,π)时，

g(5π6+θ)=sin(π3+θ)=1?cos2(π3+θ)=223；

当π3+θ∈(π,3π2)，

g(5π6+θ)=sin(π3+θ)=?1?cos2(π3+θ)=?223；

(3)gθ?gπ2?θ=?cosθ+cosπ2?θ=sinθ?cosθ

由g32π?θ?g(θ)=13，得?cos(32π?θ)+cosθ=13，

整理得sinθ+cosθ=13，

两边平方得：sinθ+cosθ2=1+2sinθcosθ=19，即2sinθcosθ=?890,sinθ<0，即sinθ－cosθ<0，

则gθ?gπ2?θ=173．作

【点拨】在解题中综合法与分析法相结合.



巩固练习

1(★)若sinα=45，则( )

A．cosπ2?α=45B．sinπ2?α=35

C．sin(π+α)=45D．sin(π?α)=?45

【答案】A

【解析】若sinα=45，所以cos(π2?α)=sinα=45，sin(π2?α)=cosα=±35，

sin(π+α)=?sinα=?45，sin(π?α)=sinα=45．

故选：A．

2(★)在△ABC中，下列等式一定成立的是( )

A．sinA+B=?sinCB．cosA+B=cosC

C．cosB+C2=sinA2D．sinB+C2=sinA2

【答案】C

【解析】在△ABC中，有A+B+C=π，

∴sin(A+B)=sinC，故A错误；cos(A+B)=﹣cosC，故B错误；

cosB+C2=cos(π?A2)=sinA2，故C正确；sinB+C2=sin(π?A2)=cosA2，故D错误．

∴等式一定成立的是C．故选：C．

3(★)sin(?17π6)+cos(?20π3)+tan(?53π6)=．

【答案】?1+33

【解析】sin?17π6+cos?20π3+tan?53π6

=－sinπ6+cos4π3?tan5π6=?12?12+33=?1+33；

4(★★)已知sin(α?π3)=13，则cos(π6+α)=．

【答案】?13

【解析】∵sin(α?π3)=13，

∴cos(π6+α)=cos[π2+(α?π3)]=－sin(α?π3)=?13，

5(★★)已知sinθ,cosθ是关于x的方程x2?ax+a=0(a∈R)的两个根．

(1)求cos3(π2?θ)+sin3(π2?θ)的值；

(2)求tan(π?θ)?1tanθ的值．

【答案】(1)1?2(2)2+1

【解析】依题意，△=－a2－4a≥0，解得a≥4或a≤0，

又sinθ+cosθ=asinθ?cosθ=a，

所以sinθ+cosθ2=1+2sinθcosθ，即a2－2a－1=0，

解得a=1?2或a=1+2(舍去)，

因此sinθ+cosθ=sinθcosθ=1?2．

(1)cos3(π2?θ)+sin3(π2?θ)

=sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(1－sinθcosθ)

=(1?2)[1－(1?2)]=2?2．

(2)tan(π－θ)?1tanθ=?sinθcosθ?cosθsinθ=?sin2θ+cos2θsinθcosθ=?11?2=2+1．



挑战学霸

sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=.

【解析】设S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°①

又∵S=sin289°+sin288°+sin287°+…+sin21°

=cos21°+cos22°+cos23°+…+cos289°②

由①+②得2S=89，则S=892．