三角函数的图像与性质



1周期函数

一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足

f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，T叫做该函数的周期.

PS

①从解析式f(x+T)=f(x)来看：任一自变量x对应函数值y与x增加T后对应函数值相等；

②从图象看：整体函数图象是由一部分图象像“分身术”一样向两边延申，而那一部分图象的水平长度就是其正周期！



③三角函数就是典型的周期函数.

2正弦函数，余弦函数的图像与性质

注表中的k∈Z



y=sinx

y=cosx

图像





定义域

R


R

值域

[?1,1]

[?1,1]

最值

当x=π2+2kπ时，ymax=1；
当x=?π2+2kπ时，ymin=?1.

当x=2kπ时，ymax=1；
当x=π+2kπ时，ymin=?1.

周期性

2π

2π

对称中心

kπ,0

kπ+π2,0

对称轴

x=kπ+π2

x=kπ

单调性

在?π2+2kπ,π2+2kπ上是增函数；
在π2+2kπ,3π2+2kπ上是减函数.

在?π+2kπ,2kπ上是增函数；
在2kπ,π+2kπ上是减函数.

3正切函数的图像与性质

注表中的k∈Z



y=tanx

图像



定义域

xx≠kπ+π2

值域

R

最值

既无最大值也无最小值

周期性

π

对称中心

kπ2,0

对称轴

无对称轴

单调性

在(kπ?π2,kπ+π2)上是增函数





【题型一】求解三角函数的性质

性质1周期性

【典题1】f(x)=|sinx|+|cosx|的最小正周期是（)

A.π2B.πC.2πD.3π







【典题2】下列函数中，最小正周期为π2的是( )

A．y=sin|x|B．y=cos|2x|C．y=|tanx|D．y=|sin2x|









性质2对称性

【典题1】函数y=sin(2x+π3)的图象( )

A．关于点(π6,0)对称B．关于点(π3,0)对称

C．关于直线x=π6对称D．关于直线x=π3对称







【典题2】已知函数f(x)=cos(3x+φ)(?π2f(2)>f(3)B．f(3)>f(2)>f(1)

C．f(2)>f(1)>f(3)D．f(1)>f(3)>f(2)









性质4最值

【典题1】若函数f(x)=cos(ωx?π3)(ω>0)的最小正周期为π2，则f(x)在[0,π4]上的值域为．







【典题2】已知函数f(x)=2cos(2x?π3)在[a?π4,a](a∈R)上的最大值为y1，最小值为y2，则y1?y2的取值范围是.













巩固练习

1(★)下列函数中最小正周期为π的函数是( )

A．y=sinxB．y=cos12xC．y=tan2xD．y=|sinx|

2(★)下列函数中，关于直线x=?π6对称的是( )

A．y=sin(x+π3)B．y=sin(2x+π3)C．y=cos(x+π3)D．y=cos(2x+π3)

3(★)设函数f(x)=cos(2x?π3)，则下列结论错误的是( )

A．f(x)的一个周期为?π

B．y=f(x)的图象关于直线x=2π3对称

C．f(x+π2)的一个零点为x=?π3

D．f(x)在区间[π3,π2]上单调递减

4(★)下列函数中，以π为周期且在区间(π2,π)单调递增的是( )

A．f(x)=|cos2x|B．f(x)=|sin2x|

C．f(x)=|cosx|D．f(x)=|sinx|

5(★)关于函数f(x)=|tanx|的性质，下列叙述不正确的是( )

A．f(x)的最小正周期为π2

B．f(x)是偶函数

C．f(x)的图象关于直线x=kπ2(k∈Z)对称

D．f(x)在每一个区间(kπ,kπ+π2)(k∈Z)内单调递增

6(★★)下列函数中，以2π为周期，x=π2为对称轴，且在(0,π2)上单调递增的函数是( )

A．y=2|sinx|+sinxB．y=2cos(x+π2)C．y=sin(2x?π2)D．y=tan(x2+π4)

7(★★)已知直线x=x1,x=x2分别是曲线f(x)=2sin(x+π3)与gx=?cosx的对称轴，

则f(x1?x2)=( )

A．2B．0C．±2D．±1



8(★★)关于函数f(x)=|sinx|+cosx有下述四个结论：

①f(x)是周期函数；②f(x)的最小值为?2；③f(x)的图象关于y轴对称；④f(x)在区间(π4,π2)单调递增．

其中所有正确结论的编号是( )

A．①②B．①③C．②③D．②④

9(★★★)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,00,00，函数f(x)=sin(ωx?π4)的图象在区间(π2,π)上有且仅有一条对称轴，则实数ω的取值范围是.













【典题2】已知函数f(x)=|cos(ωx+π3)|(ω>0)在区间[?π3,5π6]上单调递减,则ω的取值范围为.











【典题3】已知函数f(x)=sin(ωx+π3)，(ω>0)在区间[?2π3，5π6]上是增函数，且在区间[0,π]上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是()

A．(0,15]B．[12,35]C．[16,15]D．[12,52)











巩固练习

1(★★)设f(x)=3sin(ωx?π12)+1，若f(x)在[?π3,π6]上为增函数，则ω的取值范围是．

2(★★)已知函数f(x)=3sin(ωx+π6)(ω>0)在(0,π12)上单调递增，则ω的最大值是.

3(★★)设函数f(x)=sin(ωx+?),A>0,ω>0,若f(x)在区间[π6,π2]上单调，且f(π2)=f(2π3)=?f(π6)，则f(x)的最小正周期为．

4(★★★)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)满足f(π4)=1，f(π2)=0，且f(x)在区间(π4,π3)上单调，则ω取值的个数有个．

5(★★★)已知函数f(x)=cos(ωx+π6)(ω>0)在区间[0,π]上的值域为[?1,32]，则ω的取值范围为．



【题型三】综合解答题

【典题1】已知函数f(x)=sin(2x?π3)．

(1)当x1∈(?π2,?π3),x2∈(0,π6)时f(x1)+f(x2)=0，求x1?x2的值；

(2)令Fx=fx?3，若对任意x都有F2x?(2+m)F(x)+2+m≤0恒成立，求m的最大值．











【典题2】已知函数f(x)=sin2x+acosx+a...