5.4 三角函数的图像与性质-新教材人教A版必修第一册练习(教师版) 人教版
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文件简介::
三角函数的图像与性质
1周期函数
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足
f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，T叫做该函数的周期.
PS
①从解析式f(x+T)=f(x)来看：任一自变量x对应函数值y与x增加T后对应函数值相等；
②从图象看：整体函数图象是由一部分图象像“分身术”一样向两边延申，而那一部分图象的水平长度就是其正周期！
③三角函数就是典型的周期函数.
2正弦函数，余弦函数的图像与性质
注表中的k∈Z
y=sinx
y=cosx
图像
定义域
R
R
值域
[?1,1]
[?1,1]
最值
当x=π2+2kπ时，ymax=1；
当x=?π2+2kπ时，ymin=?1.
当x=2kπ时，ymax=1；
当x=π+2kπ时，ymin=?1.
周期性
2π
2π
对称中心
kπ,0
kπ+π2,0
对称轴
x=kπ+π2
x=kπ
单调性
在?π2+2kπ,π2+2kπ上是增函数；
在π2+2kπ,3π2+2kπ上是减函数.
在?π+2kπ,2kπ上是增函数；
在2kπ,π+2kπ上是减函数.
3正切函数的图像与性质
注表中的k∈Z
y=tanx
图像
定义域
xx≠kπ+π2
值域
R
最值
既无最大值也无最小值
周期性
π
对称中心
kπ2,0
对称轴
无对称轴
单调性
在(kπ?π2,kπ+π2)上是增函数
【题型一】求解三角函数的性质
性质1周期性
【典题1】f(x)=|sinx|+|cosx|的最小正周期是（)
A.π2B.πC.2πD.3π
【解析】fx+π2=sinx+π2+cosx+π2=cosx+|sinx|=f(x),
故π2是y=f(x)的周期，由选项可知选A.
【点拨】从定义出发：存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x)，则T叫做该函数的周期.
【典题2】下列函数中，最小正周期为π2的是( )
A．y=sin|x|B．y=cos|2x|C．y=|tanx|D．y=|sin2x|
【解析】由图可知函数y=sin|x|不是周期函数，故A不正确；
由于函数y=cos|2x|=cos2x的周期为2π2=π，故B不正确；
由图可知函数y=|tanx|的周期T=π，故C不正确；
由图可知函数y=|sin2x|的周期为T=π2，故D正确，
故选：D．
【点拨】
①函数fx=Asin(ωx+φ),fx=Acos(ωx+φ)的最小正周期T=2πω,
函数fx=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=πω；
②利用函数的对称变换与翻转变换，利用图象判断函数周期更容易些.
性质2对称性
【典题1】函数y=sin(2x+π3)的图象( )
A．关于点(π6,0)对称B．关于点(π3,0)对称
C．关于直线x=π6对称D．关于直线x=π3对称
【解析】方法1对于函数y=sin(2x+π3)，
(求出函数的所有对称轴和对称中心再判断)
令2x+π3=π2+kπ，则x=π12+kπ2,则函数的对称轴是x=π12+kπ2(k∈N?)，
若π12+kπ2=π6，解得k=16?N?；若π12+kπ2=π3，解得k=12?N?，故排除C,D；
令2x+π3=kπ，则x=?π6+kπ2,则函数的对称中心是?π6+kπ2,0(k∈N?)，
若?π6+kπ2=π6，解得k=23?N?，可排除A；
若?π6+kπ2=π3，解得k=1∈N?，故关于点(π3,0)对称.
故选：B．
方法2对于函数y=sin(2x+π3)，
当x=π6时，2x+π3=2π3，而(2π3,0)不是正弦函数y=sinx的对称中心，故A错误；
当x=π3时，2x+π3=π，而(π,0)是正弦函数y=sinx的对称中心，故B正确；
当x=π6时，2x+π3=2π3，而x=2π3不是正弦函数y=sinx的对称轴，故C错误；
当x=π3时，2x+π3=π，而x=π不是正弦函数y=sinx的对称轴，故D错误；
故选：B．
【点拨】本题两种方法，
方法1是求出三角函数的全部对称轴或对称中心(此时把ωx+φ看成整体)，再判断；
方法2是把问题转化正弦函数y=sinx的性质判断；
对于三角函数fx=Asinωx+φ+B
①若x=x0是其对称轴，则ωx0+φ是正弦函数y=sinx的对称轴；
②若(x0,B)是其对称中心，则(ωx0+φ,B)满足函数y=Asinx+B的对称中心.
对于三角函数fx=Acosωx+φ+B类似.
【典题2】已知函数f(x)=cos(3x+φ)(?π2f(2)>f(3)B．f(3)>f(2)>f(1)
C．f(2)>f(1)>f(3)D．f(1)>f(3)>f(2)
【解析】(显然选项是由函数单调性作出判断)
令?π2+2kπf(2)>f(3)．
故选：A．
性质4最值
【典题1】若函数f(x)=cos(ωx?π3)(ω>0)的最小正周期为π2，则f(x)在[0,π4]上的值域为．
【解析】依题意得2πω=π2，∴ω=4．
∵x∈[0,π4]，∴4x?π3∈[?π3,2π3]，
∴cos(4x?π3)∈[?12,1]，即fx的值域是[?12,1].
【典题2】已知函数f(x)=2cos(2x?π3)在[a?π4,a](a∈R)上的最大值为y1，最小值为y2，则y1?y2的取值范围是.
【解析】函数f(x)=2cos(2x?π3)的周期为π，
且对称轴为x=π6+kπ2，对称中心5π12+kπ,0，k∈Z，
f(x)的图象大致如图所示；
区间[a?π4,a]正好是函数14个周期，在一个周期内讨论就行，
设a?π4,a的中点为P，
由图可知，
当点P落在对称轴上，即a?π8=π6时，y1=2，y2=2，
此时y1?y2取得最小值为2?2；
当点P落在对称中心上，即a?π8=5π12时，y1=2，y2=?2，
此时y1?y2的值为22；
∴y1?y2的取值范围是[2?2,22]．
【点拨】
①对于正弦函数、余弦函数，由图可知，相对而言靠近对称轴位置，函数值变化较慢，而靠近对称中心位置函数值变化较快些.
②本题也属于“纵向距”问题，数形结合处理恰当.
巩固练习
1(★)下列函数中最小正周期为π的函数是( )
A．y=sinxB．y=cos12xC．y=tan2xD．y=|sinx|
【答案】D
【解析】A、函数y=sinx的最小正...
1周期函数
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足
f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，T叫做该函数的周期.
PS
①从解析式f(x+T)=f(x)来看：任一自变量x对应函数值y与x增加T后对应函数值相等；
②从图象看：整体函数图象是由一部分图象像“分身术”一样向两边延申，而那一部分图象的水平长度就是其正周期！
③三角函数就是典型的周期函数.
2正弦函数，余弦函数的图像与性质
注表中的k∈Z
y=sinx
y=cosx
图像
定义域
R
R
值域
[?1,1]
[?1,1]
最值
当x=π2+2kπ时，ymax=1；
当x=?π2+2kπ时，ymin=?1.
当x=2kπ时，ymax=1；
当x=π+2kπ时，ymin=?1.
周期性
2π
2π
对称中心
kπ,0
kπ+π2,0
对称轴
x=kπ+π2
x=kπ
单调性
在?π2+2kπ,π2+2kπ上是增函数；
在π2+2kπ,3π2+2kπ上是减函数.
在?π+2kπ,2kπ上是增函数；
在2kπ,π+2kπ上是减函数.
3正切函数的图像与性质
注表中的k∈Z
y=tanx
图像
定义域
xx≠kπ+π2
值域
R
最值
既无最大值也无最小值
周期性
π
对称中心
kπ2,0
对称轴
无对称轴
单调性
在(kπ?π2,kπ+π2)上是增函数
【题型一】求解三角函数的性质
性质1周期性
【典题1】f(x)=|sinx|+|cosx|的最小正周期是（)
A.π2B.πC.2πD.3π
【解析】fx+π2=sinx+π2+cosx+π2=cosx+|sinx|=f(x),
故π2是y=f(x)的周期，由选项可知选A.
【点拨】从定义出发：存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x)，则T叫做该函数的周期.
【典题2】下列函数中，最小正周期为π2的是( )
A．y=sin|x|B．y=cos|2x|C．y=|tanx|D．y=|sin2x|
【解析】由图可知函数y=sin|x|不是周期函数，故A不正确；
由于函数y=cos|2x|=cos2x的周期为2π2=π，故B不正确；
由图可知函数y=|tanx|的周期T=π，故C不正确；
由图可知函数y=|sin2x|的周期为T=π2，故D正确，
故选：D．
【点拨】
①函数fx=Asin(ωx+φ),fx=Acos(ωx+φ)的最小正周期T=2πω,
函数fx=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=πω；
②利用函数的对称变换与翻转变换，利用图象判断函数周期更容易些.
性质2对称性
【典题1】函数y=sin(2x+π3)的图象( )
A．关于点(π6,0)对称B．关于点(π3,0)对称
C．关于直线x=π6对称D．关于直线x=π3对称
【解析】方法1对于函数y=sin(2x+π3)，
(求出函数的所有对称轴和对称中心再判断)
令2x+π3=π2+kπ，则x=π12+kπ2,则函数的对称轴是x=π12+kπ2(k∈N?)，
若π12+kπ2=π6，解得k=16?N?；若π12+kπ2=π3，解得k=12?N?，故排除C,D；
令2x+π3=kπ，则x=?π6+kπ2,则函数的对称中心是?π6+kπ2,0(k∈N?)，
若?π6+kπ2=π6，解得k=23?N?，可排除A；
若?π6+kπ2=π3，解得k=1∈N?，故关于点(π3,0)对称.
故选：B．
方法2对于函数y=sin(2x+π3)，
当x=π6时，2x+π3=2π3，而(2π3,0)不是正弦函数y=sinx的对称中心，故A错误；
当x=π3时，2x+π3=π，而(π,0)是正弦函数y=sinx的对称中心，故B正确；
当x=π6时，2x+π3=2π3，而x=2π3不是正弦函数y=sinx的对称轴，故C错误；
当x=π3时，2x+π3=π，而x=π不是正弦函数y=sinx的对称轴，故D错误；
故选：B．
【点拨】本题两种方法，
方法1是求出三角函数的全部对称轴或对称中心(此时把ωx+φ看成整体)，再判断；
方法2是把问题转化正弦函数y=sinx的性质判断；
对于三角函数fx=Asinωx+φ+B
①若x=x0是其对称轴，则ωx0+φ是正弦函数y=sinx的对称轴；
②若(x0,B)是其对称中心，则(ωx0+φ,B)满足函数y=Asinx+B的对称中心.
对于三角函数fx=Acosωx+φ+B类似.
【典题2】已知函数f(x)=cos(3x+φ)(?π2f(2)>f(3)B．f(3)>f(2)>f(1)
C．f(2)>f(1)>f(3)D．f(1)>f(3)>f(2)
【解析】(显然选项是由函数单调性作出判断)
令?π2+2kπf(2)>f(3)．
故选：A．
性质4最值
【典题1】若函数f(x)=cos(ωx?π3)(ω>0)的最小正周期为π2，则f(x)在[0,π4]上的值域为．
【解析】依题意得2πω=π2，∴ω=4．
∵x∈[0,π4]，∴4x?π3∈[?π3,2π3]，
∴cos(4x?π3)∈[?12,1]，即fx的值域是[?12,1].
【典题2】已知函数f(x)=2cos(2x?π3)在[a?π4,a](a∈R)上的最大值为y1，最小值为y2，则y1?y2的取值范围是.
【解析】函数f(x)=2cos(2x?π3)的周期为π，
且对称轴为x=π6+kπ2，对称中心5π12+kπ,0，k∈Z，
f(x)的图象大致如图所示；
区间[a?π4,a]正好是函数14个周期，在一个周期内讨论就行，
设a?π4,a的中点为P，
由图可知，
当点P落在对称轴上，即a?π8=π6时，y1=2，y2=2，
此时y1?y2取得最小值为2?2；
当点P落在对称中心上，即a?π8=5π12时，y1=2，y2=?2，
此时y1?y2的值为22；
∴y1?y2的取值范围是[2?2,22]．
【点拨】
①对于正弦函数、余弦函数，由图可知，相对而言靠近对称轴位置，函数值变化较慢，而靠近对称中心位置函数值变化较快些.
②本题也属于“纵向距”问题，数形结合处理恰当.
巩固练习
1(★)下列函数中最小正周期为π的函数是( )
A．y=sinxB．y=cos12xC．y=tan2xD．y=|sinx|
【答案】D
【解析】A、函数y=sinx的最小正...
