5.5 三角函数和差角公式 -新教材人教A版必修第一册练习(学生版) 人教版
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文件简介::
三角函数和差角公式
1两角和差的正弦，余弦与正切公式
(理解公式的推导，体会其方法，而不死背公式)
①余弦两角和差公式
cosα±β=cosαcosβ?sinαsinβ
推导如下
如图，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1,0)，以x轴为非负半轴为始边作角α，β，α?β，它们的终边分别与单位圆相较于点P1cosα,sinα，A1cosβ,sinβ，Pcosα?β,sinα?β，连接A1P1，AP，若把扇形OAP绕点O旋转β角，则点A，P分别与A1,P1重合.根据圆的旋转对称性可知，AP与A1P1重合，从而AP=A1P1，所以AP=A1P1.
根据两点间的距离公式，得
cosα?β?12+sin2α?β=cosα?cosβ2+sinα?sinβ2
化简得
cosα?β=cosαcosβ+sinαsinβ
而
cosα+β=cosα??β=cosαcosβ?sinαsinβ
②正弦两角和差公式
sinα±β=sinαcosβ±cosαsinβ
推导如下
sinα+β=cosπ2?α?β
=cosπ2?αcosβ+sinπ2?αsinβ
=sinαcosβ+cosαsinβ
sinα?β=cosπ2?α+β
=cosπ2?αcosβ?sinπ2?αsinβ
=sinαcosβ?cosαsinβ
③正切两角和差公式
tanα±β=tanα±tanβ1?tanαtanβ
(由S(α±β)、C(α±β)可推导正切的和差角公式)
对公式中α、β的理解，他们可表示为一个数字、一个字母，甚至一个式子
Eg：①sin75°=sin45°+30°=sin45°cos30°+cos45°sin30°=6+24
对应公式sinα±β=sinαcosβ±cosαsinβ，把α看成数字45°,β看成数字30°；
②cosx+π3=cosx?cosπ3?sinx?sinπ3
对应公式cosα+β=cosαcosβ?sinαsinβ，把α看成字母x，β看成数字π3；
③tanπ4=tanx+π8+π8?x=tanx+π8+tanπ8?x1?tanx+π8tanπ8?x，
对应公式tanα+β=tanα+tanβ1?tanαtanβ，把α、β分别看成式子x+π8、x?π8.
对应公式的运用，注意整体变换的思想.
2辅助角公式
asinx+bcosx=a2+b2sinx+φ
其中tanφ=ba.
熟记两个特殊角的化简过程
a:b=1:1型，配π4
sinx±cosx=2sin?(x±π4)
a:b=3:1型，配π6或π3
sinx±3cosx=2sinx±π3
3sinx±cosx=2sinx±π6
【题型一】和差角公式的基本运用
【典题1】计算sin25°sin70°?cos155°sin20°=.
【典题2】tan27°+tan33°+3tan27°tan33°=.
【典题3】若α,β∈(?π2,π2)，且tanα,tanβ是方程x2+43x+5=0的两个根，则α+β=.
【典题4】已知sinα?sinβ=?13,cosα+cosβ=12，则cos(α+β)=．
【典题5】设00)的最小正周期为π，则ω=．
2(★★)A,B,C是△ABC的内角，其中B=2π3，则sinA+sinC的取值范围是．
3(★★)若函数f(x)=sin2x?3cos2x在[0,t]上的值域为[?3,2]，则t的取值范围为．
4(★★★)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)在(π6，5π12)上仅有1个最值，且是最大值，则实数ω的取值范围为．
5(★★★)已知函数f(x)=2sin(ωx+π6)+acosωx(a>0,ω>0)对任意的x1,x2∈R，都有f(x1)+f(x2)≤43，若f(x)在[0,π]上的值域为[3,23]，则实数ω的取值范围为．
1两角和差的正弦，余弦与正切公式
(理解公式的推导，体会其方法，而不死背公式)
①余弦两角和差公式
cosα±β=cosαcosβ?sinαsinβ
推导如下
如图，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1,0)，以x轴为非负半轴为始边作角α，β，α?β，它们的终边分别与单位圆相较于点P1cosα,sinα，A1cosβ,sinβ，Pcosα?β,sinα?β，连接A1P1，AP，若把扇形OAP绕点O旋转β角，则点A，P分别与A1,P1重合.根据圆的旋转对称性可知，AP与A1P1重合，从而AP=A1P1，所以AP=A1P1.
根据两点间的距离公式，得
cosα?β?12+sin2α?β=cosα?cosβ2+sinα?sinβ2
化简得
cosα?β=cosαcosβ+sinαsinβ
而
cosα+β=cosα??β=cosαcosβ?sinαsinβ
②正弦两角和差公式
sinα±β=sinαcosβ±cosαsinβ
推导如下
sinα+β=cosπ2?α?β
=cosπ2?αcosβ+sinπ2?αsinβ
=sinαcosβ+cosαsinβ
sinα?β=cosπ2?α+β
=cosπ2?αcosβ?sinπ2?αsinβ
=sinαcosβ?cosαsinβ
③正切两角和差公式
tanα±β=tanα±tanβ1?tanαtanβ
(由S(α±β)、C(α±β)可推导正切的和差角公式)
对公式中α、β的理解，他们可表示为一个数字、一个字母，甚至一个式子
Eg：①sin75°=sin45°+30°=sin45°cos30°+cos45°sin30°=6+24
对应公式sinα±β=sinαcosβ±cosαsinβ，把α看成数字45°,β看成数字30°；
②cosx+π3=cosx?cosπ3?sinx?sinπ3
对应公式cosα+β=cosαcosβ?sinαsinβ，把α看成字母x，β看成数字π3；
③tanπ4=tanx+π8+π8?x=tanx+π8+tanπ8?x1?tanx+π8tanπ8?x，
对应公式tanα+β=tanα+tanβ1?tanαtanβ，把α、β分别看成式子x+π8、x?π8.
对应公式的运用，注意整体变换的思想.
2辅助角公式
asinx+bcosx=a2+b2sinx+φ
其中tanφ=ba.
熟记两个特殊角的化简过程
a:b=1:1型，配π4
sinx±cosx=2sin?(x±π4)
a:b=3:1型，配π6或π3
sinx±3cosx=2sinx±π3
3sinx±cosx=2sinx±π6
【题型一】和差角公式的基本运用
【典题1】计算sin25°sin70°?cos155°sin20°=.
【典题2】tan27°+tan33°+3tan27°tan33°=.
【典题3】若α,β∈(?π2,π2)，且tanα,tanβ是方程x2+43x+5=0的两个根，则α+β=.
【典题4】已知sinα?sinβ=?13,cosα+cosβ=12，则cos(α+β)=．
【典题5】设00)的最小正周期为π，则ω=．
2(★★)A,B,C是△ABC的内角，其中B=2π3，则sinA+sinC的取值范围是．
3(★★)若函数f(x)=sin2x?3cos2x在[0,t]上的值域为[?3,2]，则t的取值范围为．
4(★★★)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)在(π6，5π12)上仅有1个最值，且是最大值，则实数ω的取值范围为．
5(★★★)已知函数f(x)=2sin(ωx+π6)+acosωx(a>0,ω>0)对任意的x1,x2∈R，都有f(x1)+f(x2)≤43，若f(x)在[0,π]上的值域为[3,23]，则实数ω的取值范围为．
