三角函数和差角公式



1两角和差的正弦，余弦与正切公式

(理解公式的推导，体会其方法，而不死背公式)

①余弦两角和差公式

cosα±β=cosαcosβ?sinαsinβ

推导如下

如图，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1,0)，以x轴为非负半轴为始边作角α，β，α?β，它们的终边分别与单位圆相较于点P1cosα,sinα，A1cosβ,sinβ，Pcosα?β,sinα?β，连接A1P1，AP，若把扇形OAP绕点O旋转β角，则点A，P分别与A1,P1重合.根据圆的旋转对称性可知，AP与A1P1重合，从而AP=A1P1，所以AP=A1P1.



根据两点间的距离公式，得

cosα?β?12+sin2α?β=cosα?cosβ2+sinα?sinβ2

化简得

cosα?β=cosαcosβ+sinαsinβ

而

cosα+β=cosα??β=cosαcosβ?sinαsinβ

②正弦两角和差公式

sinα±β=sinαcosβ±cosαsinβ

推导如下

sinα+β=cosπ2?α?β

=cosπ2?αcosβ+sinπ2?αsinβ

=sinαcosβ+cosαsinβ

sinα?β=cosπ2?α+β

=cosπ2?αcosβ?sinπ2?αsinβ

=sinαcosβ?cosαsinβ

③正切两角和差公式

tanα±β=tanα±tanβ1?tanαtanβ

(由S(α±β)、C(α±β)可推导正切的和差角公式)

对公式中α、β的理解，他们可表示为一个数字、一个字母，甚至一个式子

Eg：①sin75°=sin45°+30°=sin45°cos30°+cos45°sin30°=6+24

对应公式sinα±β=sinαcosβ±cosαsinβ，把α看成数字45°,β看成数字30°；

②cosx+π3=cosx?cosπ3?sinx?sinπ3

对应公式cosα+β=cosαcosβ?sinαsinβ，把α看成字母x，β看成数字π3；

③tanπ4=tanx+π8+π8?x=tanx+π8+tanπ8?x1?tanx+π8tanπ8?x，

对应公式tanα+β=tanα+tanβ1?tanαtanβ，把α、β分别看成式子x+π8、x?π8.

对应公式的运用，注意整体变换的思想.

2辅助角公式

asinx+bcosx=a2+b2sinx+φ

其中tanφ=ba.

熟记两个特殊角的化简过程

a:b=1:1型，配π4

sinx±cosx=2sin?(x±π4)

a:b=3:1型，配π6或π3

sinx±3cosx=2sinx±π3

3sinx±cosx=2sinx±π6





【题型一】和差角公式的基本运用

【典题1】计算sin25°sin70°?cos155°sin20°=.

【解析】sin25°sin70°?cos155°sin20°

=sin25°cos20°+cos25°sin20°(大角化小角)

=sin(25°+20°)

=sin45°

=22



【典题2】tan27°+tan33°+3tan27°tan33°=.

【解析】∵tan(27+33)°=tan60°=3

∴tan27°+tan33°1?tan27°tan33°=3

∴tan27°+tan33°=3?3tan27°tan33°

∴tan27°+tan33°+3tan27°tan33°=3

【点拨】由tanα+β=tanα+tanβ1?tanαtanβ可得

tanα+tanβ=tanα+β(1?tanαtanβ)

tanα+tanβ+tanαtanβtanα+β=tanα+β



【典题3】若α,β∈(?π2,π2)，且tanα,tanβ是方程x2+43x+5=0的两个根，则α+β=.

【解析】由已知可得tanα+tanβ=?43，tanα?tanβ=5，

∴tan(α+β)=tanα+tanβ1?tanα?tanβ=?431?5=3．

∵α,β∈(?π2,π2)，且tanα0，y>0，

则1cosαcosβ+1sinαsinβ=1x+1y=2x+y1x+1y

=2(2+yx+xy)≥2(2+2xy?yx)=8，

当且仅当x=y时取等号，此时1cosαcosβ+1sinαsinβ的最小值8．



【题型二】角的变换

【典题1】若sin(α+π5)=?13，α∈(0,π)，则cos(π20?α)=．

【解析】∵α+π5+π20?α=π4，∴π20?α=π4?(α+π5)，

∵α∈(0,π)，∴α+π5∈(π5,6π5)，

又sin(α+π5)=?13b.

【点拨】熟记sinx±cosx=2sin?(x±π4).



【典题2】设当x=θ时，函数f(x)=2sinx+cosx取得最小值，则cos(θ+π4)=．

【解析】对于函数f(x)=2sinx+cosx=5sin(x+φ)，

其中cosφ=25,sinφ=15，φ为锐角．

当x=θ时，函数取得最小值，∴5sin(θ+φ)=?5，

即sinθ+φ=?1，

故可令θ+φ=?π2+2kπ(k∈Z)，即θ=?π2?φ+2kπ，

故cosθ+π4=cos?π4?φ+2kπ=cosφ+π4

=22cosφ?22sinφ=22(25?15)=1010，

故答案为：1010．

【点拨】

①辅助角公式asinx+bcosx=a2+b2sinx+φ，要理解其中φ的含义tanφ=ba.

②涉及到三角函数fx=asinx+bcosx的性质问题(比如单调性、对称性、最值等)，往往要通过辅助角公式把函数y=fx转化为fx=Asin(ωx+φ)的形式.



【典题3】已知函数f(x)=2sinx－acosx图象的一条对称轴为x=?π6，f(x1)+f(x2)=0，且函数f(x)在(x1,x2)上单调，则|3x1+2x2|的最小值为.

【解析】由题意，f(x)=2sinx?acosx=4+a2sin(x+θ)，θ为辅助角，

因为对称轴x=?π6，所以f(?π6)=?1?32a，

即4+a2=|?1?32a|，(三角函数对称轴对应的y值是最值)

解得a=23，

所以f(x)=4sin(x?π3)，对称轴方程为x=?π6+kπ(k∈Z)，

又因为f(x)在(x1,x2)上具有单调性，且f(x1)+f(x2)=0，

设A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))，则线段AB的中点为函数f(x)的对称中心，

所以x1+x2=2kπ+2π3(k∈Z)，

3x1+2x2=2x1+x2+x1=4kπ+4π3+x1

显然当k=0，x1=?π6时，即x1=?π6，x2=5π6时取最小值7π6.

(结合函数图像分析)



巩固练习

1(★★)已知函数f(x)=|3sinωx?cosωx|(ω>0)的最小正周期为π，则ω=．

【答案】1

【解析】因为函数f(x)=|3sinωx?cosωx|=|2sin(ωx?π6)|；

故其最小正周期为：12×2πω=π?ω=1.

2(★★)A,B,C是△ABC的内角，其中B=2π3，则sinA+sinC的取值范围是．

【答案】(32,1]

【解析】sinA+sinC=sinA+sin(π3?A)=sinA+32cosA?12sinA

=12sinA+32cosA=sin(A+π3)．

∵A∈(0,π3)，∴A+π3∈(π3,2π3)，

∴sin(A+π3)∈(32,1].

3(★★)若函数f(x)=sin2x?3cos2x在[0,t]上的值域为[?3,2]，则t的取值范围为．

【答案】[5π12,5π6]

【解析】f(x)=sin2x?3cos2x=2sin(2x?π3)

当x=0时，函数值是?3；

当x=5π12时，函数值是2；

当x=5π6时，函数值是?3；

又函数在[0,5π12]上增，在[5π12,5π6]上减，可得t的取值范...