5.6 三角函数倍角公式 -新教材人教A版必修第一册练习(学生版) 人教版
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文件简介::
三角函数倍角公式
(本专题仅为公式求值、公式变换等巩固练习，其应用在另一专题讲解)
1二倍角的正弦余弦正切公式
①sin2α=2sinαcosα
②cos2α=cos2α?sin2α=1?2sin2α=2cos2α?1
③tαn2α=2tαnα1?tαn2α
(由S(α±β)、C(α±β)、T(α±β)可推导出sin2α，cos2α，tan2α的公式)
2降幂公式
cos2α=1+cos2α2sin2α=1?cos2α2
(由余弦倍角公式可得)
3?半角公式
sinα2=±1?cosα2,cosα2=±1+cosα2,tanα2=±1?cosα1+cosα
(由降幂公式可得)
4?万能公式
sinα=tanα21+tan2α2，cosα=1?tan2α21+tan2α2,tanα=2tanα21?tan2α2
(由倍角公式可得)
5?积化和公式
sinα?cosβ=12sinα+β+sinα?β
cosα?cosβ=12[cosα+β+cosα?β]
sinα?sinβ=12[cosα?β?cosα+β]
(由和差公式可得)
6?和化积公式
sinα+sinβ=2sinα+β2cosα?β2sinα?sinβ=2cosα+β2sinα?β2
cosα+cosβ=2cosα+β2cosα?β2cosα?cosβ=?2sinα+β2sinα?β2
(由和差公式可得)
【题型一】倍角公式的运用
【典题1】求值cos20°cos35°1?sin20°=．
【典题2】计算4cos50°?tan40°=.
【典题3】如果1+tanα1?tanα=2013，那么1cos2α+tan2α=.
【典题4】已知sin(π12?α2)=33，则sin(2α+π6)的值为.
【典题5】若α∈(0,π2)，且cos2α=25sin(α+π4)，则tanα=．
巩固练习
1(★)计算3?tan12°(2cos212°?1)sin12°=．
2(★)已知θ∈(0,π2),sinθ=55，则cos2θtanθ=.
3(★)若tanα+1tanα=3，则cos4α=.
4(★★)设tanα=12，cos(π+β)=?45(β∈(0,π))，则tan(2α－β)的值为.
5(★★)已知α∈(0,π)，且3cos2α－8cosα=5，则sinα=.
6(★★)已知α∈(0,π2)，若sin2α－2cos2α=2，则sinα=.
7(★★)已知α∈(π2,π),tan2α=34,则sin2α+cos2α=.
8(★★)已知sinα=2sinβ,tanα=3tanβ，则cos2α=.
【题型二】降幂公式的运用
【典题1】在?ABC中，若3cos2A?B2+5sin2A+B2=4，求tαnAtαnB.
巩固练习
1(★★)若cos2θ=14，则sin2θ+2cos2θ的值为.
2(★★)已知tanθ是方程x2－6x+1=0的一根，则cos2(θ+π4)=.
3(★★)已知cos2αsinα+cosα=24，则cos2(34π+α)的值是.
【题型三】角的变换
【典题1】若sin(θ+π8)=13，则sin(2θ?π4)=.
【典题2】已知sin(α+3π4)=45，cos(π4?β)=35，且?π4<α<π4,π4<β<3π4，求cos2(α－β)的值．
巩固练习
1(★★)若cos(α+π12)=23，则sin(π3?2α)的值为．
2(★★)已知cos(α+π6)=35，α∈(0，π2)，则cos(2α+7π12)=．
3(★★)已知cos(θ+π6)=?33，则sin(π6?2θ)=．
4(★★)已知cosα=255，cos(β－α)=31010，且0<α<β<π2，则β=．
5(★★★)已知π2<β<α<3π4，且cos(α－β)=1213，sin(α+β)=?35，求cos2α的值．
6(★★★)设0
【题型四】简单的三角恒等变换(选学内容)
【典题1】若α∈(0,π)，且sinα+2cosα=2，则tanα2等于.
【典题2】在△ABC中，B=π4，则sinAsinC的最大值是.
巩固练习
1(★★)sin220°+cos80°cos40°=．
2(★★)sin(α+30°)?sin(α?30°)cosα的值为．
3(★★)已知θ为第二象限角，25sin2θ+sinθ?24=0，则sinθ2的值为.
4(★★)若sinα=?35，α是第三象限角，则1?tanα21+tanα2=.
5(★★)已知cosα+cosβ=12，则cosα+β2cosα?β2的值为.
6(★★★)已知α,β为锐角，且α?β=π6，那么sinαsinβ的取值范围是．
7(★★★)cosπ7+cos3π7+cos5π7=．
(本专题仅为公式求值、公式变换等巩固练习，其应用在另一专题讲解)
1二倍角的正弦余弦正切公式
①sin2α=2sinαcosα
②cos2α=cos2α?sin2α=1?2sin2α=2cos2α?1
③tαn2α=2tαnα1?tαn2α
(由S(α±β)、C(α±β)、T(α±β)可推导出sin2α，cos2α，tan2α的公式)
2降幂公式
cos2α=1+cos2α2sin2α=1?cos2α2
(由余弦倍角公式可得)
3?半角公式
sinα2=±1?cosα2,cosα2=±1+cosα2,tanα2=±1?cosα1+cosα
(由降幂公式可得)
4?万能公式
sinα=tanα21+tan2α2，cosα=1?tan2α21+tan2α2,tanα=2tanα21?tan2α2
(由倍角公式可得)
5?积化和公式
sinα?cosβ=12sinα+β+sinα?β
cosα?cosβ=12[cosα+β+cosα?β]
sinα?sinβ=12[cosα?β?cosα+β]
(由和差公式可得)
6?和化积公式
sinα+sinβ=2sinα+β2cosα?β2sinα?sinβ=2cosα+β2sinα?β2
cosα+cosβ=2cosα+β2cosα?β2cosα?cosβ=?2sinα+β2sinα?β2
(由和差公式可得)
【题型一】倍角公式的运用
【典题1】求值cos20°cos35°1?sin20°=．
【典题2】计算4cos50°?tan40°=.
【典题3】如果1+tanα1?tanα=2013，那么1cos2α+tan2α=.
【典题4】已知sin(π12?α2)=33，则sin(2α+π6)的值为.
【典题5】若α∈(0,π2)，且cos2α=25sin(α+π4)，则tanα=．
巩固练习
1(★)计算3?tan12°(2cos212°?1)sin12°=．
2(★)已知θ∈(0,π2),sinθ=55，则cos2θtanθ=.
3(★)若tanα+1tanα=3，则cos4α=.
4(★★)设tanα=12，cos(π+β)=?45(β∈(0,π))，则tan(2α－β)的值为.
5(★★)已知α∈(0,π)，且3cos2α－8cosα=5，则sinα=.
6(★★)已知α∈(0,π2)，若sin2α－2cos2α=2，则sinα=.
7(★★)已知α∈(π2,π),tan2α=34,则sin2α+cos2α=.
8(★★)已知sinα=2sinβ,tanα=3tanβ，则cos2α=.
【题型二】降幂公式的运用
【典题1】在?ABC中，若3cos2A?B2+5sin2A+B2=4，求tαnAtαnB.
巩固练习
1(★★)若cos2θ=14，则sin2θ+2cos2θ的值为.
2(★★)已知tanθ是方程x2－6x+1=0的一根，则cos2(θ+π4)=.
3(★★)已知cos2αsinα+cosα=24，则cos2(34π+α)的值是.
【题型三】角的变换
【典题1】若sin(θ+π8)=13，则sin(2θ?π4)=.
【典题2】已知sin(α+3π4)=45，cos(π4?β)=35，且?π4<α<π4,π4<β<3π4，求cos2(α－β)的值．
巩固练习
1(★★)若cos(α+π12)=23，则sin(π3?2α)的值为．
2(★★)已知cos(α+π6)=35，α∈(0，π2)，则cos(2α+7π12)=．
3(★★)已知cos(θ+π6)=?33，则sin(π6?2θ)=．
4(★★)已知cosα=255，cos(β－α)=31010，且0<α<β<π2，则β=．
5(★★★)已知π2<β<α<3π4，且cos(α－β)=1213，sin(α+β)=?35，求cos2α的值．
6(★★★)设0
【题型四】简单的三角恒等变换(选学内容)
【典题1】若α∈(0,π)，且sinα+2cosα=2，则tanα2等于.
【典题2】在△ABC中，B=π4，则sinAsinC的最大值是.
巩固练习
1(★★)sin220°+cos80°cos40°=．
2(★★)sin(α+30°)?sin(α?30°)cosα的值为．
3(★★)已知θ为第二象限角，25sin2θ+sinθ?24=0，则sinθ2的值为.
4(★★)若sinα=?35，α是第三象限角，则1?tanα21+tanα2=.
5(★★)已知cosα+cosβ=12，则cosα+β2cosα?β2的值为.
6(★★★)已知α,β为锐角，且α?β=π6，那么sinαsinβ的取值范围是．
7(★★★)cosπ7+cos3π7+cos5π7=．
