5.6 三角函数倍角公式 -新教材人教A版必修第一册练习(教师版) 人教版
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- 种草时间:2025/6/28 14:58:00
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文件简介::
三角函数倍角公式
(本专题仅为公式求值、公式变换等巩固练习，其应用在另一专题讲解)
1二倍角的正弦余弦正切公式
①sin2α=2sinαcosα
②cos2α=cos2α?sin2α=1?2sin2α=2cos2α?1
③tαn2α=2tαnα1?tαn2α
(由S(α±β)、C(α±β)、T(α±β)可推导出sin2α，cos2α，tan2α的公式)
2降幂公式
cos2α=1+cos2α2sin2α=1?cos2α2
(由余弦倍角公式可得)
3?半角公式
sinα2=±1?cosα2,cosα2=±1+cosα2,tanα2=±1?cosα1+cosα
(由降幂公式可得)
4?万能公式
sinα=tanα21+tan2α2，cosα=1?tan2α21+tan2α2,tanα=2tanα21?tan2α2
(由倍角公式可得)
5?积化和公式
sinα?cosβ=12sinα+β+sinα?β
cosα?cosβ=12[cosα+β+cosα?β]
sinα?sinβ=12[cosα?β?cosα+β]
(由和差公式可得)
6?和化积公式
sinα+sinβ=2sinα+β2cosα?β2sinα?sinβ=2cosα+β2sinα?β2
cosα+cosβ=2cosα+β2cosα?β2cosα?cosβ=?2sinα+β2sinα?β2
(由和差公式可得)
【题型一】倍角公式的运用
【典题1】求值cos20°cos35°1?sin20°=．
【解析】cos20°cos35°1?sin20°
=cos210°?sin210cos?(45°?10°)(cos10°?sin10°)
=cos10°+sin10°cos45°cos10°+sin45°sin10°
=cos10°+sin10°22(cos10°+sin10°)
=2.
【典题2】计算4cos50°?tan40°=.
【解析】4cos50°?tan40°
=4cos50°?sin40°cos40°=4cos50°cos40°?sin40°cos40°
=4sin40°cos40°?sin40°cos40°=2sin80°?sin40°cos40°
=2cos10°?sin40°cos40°=2cos?(40°?30°)?sin40°cos40°
=3cos40°cos40°=3
【点拨】
①正切化弦；
②注意角度之间的关系，比如互余(50°与40°、80°与10°)、倍数关系、角度相差值是特殊值(10°与40°相差30°).
【典题3】如果1+tanα1?tanα=2013，那么1cos2α+tan2α=.
【解析】1cos2α+tan2α
=1cos2α+sin2αcos2α=1+sin2αcos2α(化切为弦)
=cosα+sinα2cosα+sinαcosα?sinα
=cosα+sinαcosα?sinα
=1+tanα1?tanα=2013
【点拨】
①本题的思路有二，一是先化简所求式子再利用已知条件，化二倍角为一倍角；二是由已知可求tanα，进而可得sinα,cosα，再求tan2α与cos2α得结果，但数值不好求.
②化切为弦是常见思路，也可1cos2α+tan2α=cos2α+sin2αcos2α?sin2α+2tanα1?tan2α=1+tan2α1?tan2α
+2tanα1?tan2α=(1+tanα)21?tan2α=1+tanα1?tanα=2013．方法多样，多思考.
【典题4】已知sin(π12?α2)=33，则sin(2α+π6)的值为.
【解析】∵sin(π12?α2)=33，
∴cosπ6?α=1?2sin2(π12?α2)=13，
∴sin2α+π6=cosπ3?2α=2cos2π6?α?1=2×132?1=?79．
【点拨】α2与2α是四倍关系，故可用借助α进行转化；解题中多用综合法与分析法求解.
【典题5】若α∈(0,π2)，且cos2α=25sin(α+π4)，则tanα=．
【解析】∵α∈(0,π2)，且cos2α=25sin(α+π4)，
∴cos2α=25×22(sinα+cosα)=15(sinα+cosα)，
∴cos2α?sin2α=(cosα?sinα)(sinα+cosα)=15(sinα+cosα)，
∴cosα?sinα=15①,
∴①式两边平方可得：1?2sinαcosα=125，解得2sinαcosα=2425，
∴2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=2425，(巧用sin2α+cos2α=1，齐次化处理)
可得12tan2α－25tanα+12=0，解得tanα=34或43．
由①可知cosα>sinα，即tanα0，
∵sinα=2tanα21+tan2α2=2x1+x2，cosα=1?tan2α21+tan2α2=1?x21+x2，
∴sinα+2cosα=2x1+x2+2?1?x21+x2=2x+2?2x21+x2=2，
即x+1?x2=1+x2，解得x=12.
【点拨】本题利用万能公式，也可利用sinα+2cosα=2求出sinα,cosα，再求tanα得到tanα2.
【典题2】在△ABC中，B=π4，则sinAsinC的最大值是.
【解析】方法一两角和差公式、二倍角公式
sinAsinC=sinAsin(π?A?B)
=sinAsin(3π4?A)=sinA(22cosA+22sinA)
=24sin2A?24cos2A+24=12sin(2A?π4)+24
∵00，
则2kπ<θ<2kπ+π,k∈Z，
则kπ<θ2
当k是偶数，设k=2n，
则2nπ<θ2<2nπ+π2，n∈Z，此时θ2为第一象限，
当k是奇数，设k=2n+1，
则2nπ+π<θ2<2nπ+3π2，n∈Z，此时θ2为第三象限，
则θ2为第一或第三象限，
∵25sin2θ+sinθ﹣24=0，
∴sinθ=?1(舍去)或sinθ=2425，
∴cosθ=?725，
∴sinθ2=±1?cosθ2=±1625=±45，
4(★★)若sinα=?35，α是第三象限角，则1?tanα21+tanα2=.
【答案】?2
【解析】sinα=?35，α是第三象限角，∴cosα=?1?sin2α=?45，
则1?tanα21+tanα2=cosα2?sinα2cosα2+sinα2=(cosα2?sinα2)2cos2α2?sin2α2=1?sinαcosα=1+35?45=?2，
5(★★)已知cosα+cosβ=12，则cosα+β2cosα?β2的值为.
【答案】14
【解析】∵cosα+cosβ=12，
∴cosα+β2cosα?β2=12cosα+β2?α?β2+cosα+β2+α?β2
=12(cosα+cosβ)=12×12=14．
6(★★★)已知α,β为锐角，且α?β=π6，那么sinαsinβ的取值范围是．
【答案】(0,32)
【解析】∵α?β=π6
∴sinαsinβ=?12cosα+β﹣cosα﹣β=?12cosα+β?32
=?12[cos(2β+π6)?32]
∵β为锐角，即0<β<π3
∴π6<2β+π6<5π6，
∴?32
∴0
故答案为：(0,32)
7(★★★)cosπ7+cos3π7+cos5π7=．
【答案】12
【解析】cosπ7+cos3π7+cos5π7=1sinπ7(sinπ7cosπ7+sinπ7cos3π7+sinπ7cos5π7)
=12sinπ7[sin2π7+(sin4π7?sin2π7)+(sin6π7?sin4π7)]
=12sinπ7sin6π7=12sinπ7×sin(π?π7)=12．...
(本专题仅为公式求值、公式变换等巩固练习，其应用在另一专题讲解)
1二倍角的正弦余弦正切公式
①sin2α=2sinαcosα
②cos2α=cos2α?sin2α=1?2sin2α=2cos2α?1
③tαn2α=2tαnα1?tαn2α
(由S(α±β)、C(α±β)、T(α±β)可推导出sin2α，cos2α，tan2α的公式)
2降幂公式
cos2α=1+cos2α2sin2α=1?cos2α2
(由余弦倍角公式可得)
3?半角公式
sinα2=±1?cosα2,cosα2=±1+cosα2,tanα2=±1?cosα1+cosα
(由降幂公式可得)
4?万能公式
sinα=tanα21+tan2α2，cosα=1?tan2α21+tan2α2,tanα=2tanα21?tan2α2
(由倍角公式可得)
5?积化和公式
sinα?cosβ=12sinα+β+sinα?β
cosα?cosβ=12[cosα+β+cosα?β]
sinα?sinβ=12[cosα?β?cosα+β]
(由和差公式可得)
6?和化积公式
sinα+sinβ=2sinα+β2cosα?β2sinα?sinβ=2cosα+β2sinα?β2
cosα+cosβ=2cosα+β2cosα?β2cosα?cosβ=?2sinα+β2sinα?β2
(由和差公式可得)
【题型一】倍角公式的运用
【典题1】求值cos20°cos35°1?sin20°=．
【解析】cos20°cos35°1?sin20°
=cos210°?sin210cos?(45°?10°)(cos10°?sin10°)
=cos10°+sin10°cos45°cos10°+sin45°sin10°
=cos10°+sin10°22(cos10°+sin10°)
=2.
【典题2】计算4cos50°?tan40°=.
【解析】4cos50°?tan40°
=4cos50°?sin40°cos40°=4cos50°cos40°?sin40°cos40°
=4sin40°cos40°?sin40°cos40°=2sin80°?sin40°cos40°
=2cos10°?sin40°cos40°=2cos?(40°?30°)?sin40°cos40°
=3cos40°cos40°=3
【点拨】
①正切化弦；
②注意角度之间的关系，比如互余(50°与40°、80°与10°)、倍数关系、角度相差值是特殊值(10°与40°相差30°).
【典题3】如果1+tanα1?tanα=2013，那么1cos2α+tan2α=.
【解析】1cos2α+tan2α
=1cos2α+sin2αcos2α=1+sin2αcos2α(化切为弦)
=cosα+sinα2cosα+sinαcosα?sinα
=cosα+sinαcosα?sinα
=1+tanα1?tanα=2013
【点拨】
①本题的思路有二，一是先化简所求式子再利用已知条件，化二倍角为一倍角；二是由已知可求tanα，进而可得sinα,cosα，再求tan2α与cos2α得结果，但数值不好求.
②化切为弦是常见思路，也可1cos2α+tan2α=cos2α+sin2αcos2α?sin2α+2tanα1?tan2α=1+tan2α1?tan2α
+2tanα1?tan2α=(1+tanα)21?tan2α=1+tanα1?tanα=2013．方法多样，多思考.
【典题4】已知sin(π12?α2)=33，则sin(2α+π6)的值为.
【解析】∵sin(π12?α2)=33，
∴cosπ6?α=1?2sin2(π12?α2)=13，
∴sin2α+π6=cosπ3?2α=2cos2π6?α?1=2×132?1=?79．
【点拨】α2与2α是四倍关系，故可用借助α进行转化；解题中多用综合法与分析法求解.
【典题5】若α∈(0,π2)，且cos2α=25sin(α+π4)，则tanα=．
【解析】∵α∈(0,π2)，且cos2α=25sin(α+π4)，
∴cos2α=25×22(sinα+cosα)=15(sinα+cosα)，
∴cos2α?sin2α=(cosα?sinα)(sinα+cosα)=15(sinα+cosα)，
∴cosα?sinα=15①,
∴①式两边平方可得：1?2sinαcosα=125，解得2sinαcosα=2425，
∴2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=2425，(巧用sin2α+cos2α=1，齐次化处理)
可得12tan2α－25tanα+12=0，解得tanα=34或43．
由①可知cosα>sinα，即tanα0，
∵sinα=2tanα21+tan2α2=2x1+x2，cosα=1?tan2α21+tan2α2=1?x21+x2，
∴sinα+2cosα=2x1+x2+2?1?x21+x2=2x+2?2x21+x2=2，
即x+1?x2=1+x2，解得x=12.
【点拨】本题利用万能公式，也可利用sinα+2cosα=2求出sinα,cosα，再求tanα得到tanα2.
【典题2】在△ABC中，B=π4，则sinAsinC的最大值是.
【解析】方法一两角和差公式、二倍角公式
sinAsinC=sinAsin(π?A?B)
=sinAsin(3π4?A)=sinA(22cosA+22sinA)
=24sin2A?24cos2A+24=12sin(2A?π4)+24
∵00，
则2kπ<θ<2kπ+π,k∈Z，
则kπ<θ2
当k是偶数，设k=2n，
则2nπ<θ2<2nπ+π2，n∈Z，此时θ2为第一象限，
当k是奇数，设k=2n+1，
则2nπ+π<θ2<2nπ+3π2，n∈Z，此时θ2为第三象限，
则θ2为第一或第三象限，
∵25sin2θ+sinθ﹣24=0，
∴sinθ=?1(舍去)或sinθ=2425，
∴cosθ=?725，
∴sinθ2=±1?cosθ2=±1625=±45，
4(★★)若sinα=?35，α是第三象限角，则1?tanα21+tanα2=.
【答案】?2
【解析】sinα=?35，α是第三象限角，∴cosα=?1?sin2α=?45，
则1?tanα21+tanα2=cosα2?sinα2cosα2+sinα2=(cosα2?sinα2)2cos2α2?sin2α2=1?sinαcosα=1+35?45=?2，
5(★★)已知cosα+cosβ=12，则cosα+β2cosα?β2的值为.
【答案】14
【解析】∵cosα+cosβ=12，
∴cosα+β2cosα?β2=12cosα+β2?α?β2+cosα+β2+α?β2
=12(cosα+cosβ)=12×12=14．
6(★★★)已知α,β为锐角，且α?β=π6，那么sinαsinβ的取值范围是．
【答案】(0,32)
【解析】∵α?β=π6
∴sinαsinβ=?12cosα+β﹣cosα﹣β=?12cosα+β?32
=?12[cos(2β+π6)?32]
∵β为锐角，即0<β<π3
∴π6<2β+π6<5π6，
∴?32
∴0
故答案为：(0,32)
7(★★★)cosπ7+cos3π7+cos5π7=．
【答案】12
【解析】cosπ7+cos3π7+cos5π7=1sinπ7(sinπ7cosπ7+sinπ7cos3π7+sinπ7cos5π7)
=12sinπ7[sin2π7+(sin4π7?sin2π7)+(sin6π7?sin4π7)]
=12sinπ7sin6π7=12sinπ7×sin(π?π7)=12．...
