5.7 函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质-新教材人教A版必修第一册练习(教师版) 人教版
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文件简介::
函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质
1性质
(1)简谐运动可用函数y=Asinωx+φ，x∈[0,+∞)表示，
A是振幅，周期T=2πω，频率f=1T=ω2π，相位ωx+φ，初相φ.
(2)A,ω,φ对f(x)=Asinωx+φ的影响
A影响函数y=f(x)的最值，ω影响周期，φ影响函数水平位置.
2函数的变换
(1)平移变换
①y=fx?y=f(x±a)(a>0)将y=f(x)图像沿x轴向左(右)平移a个单位(左加右减)；
②y=fx?y=fx±b(b>0)将y=f(x)图像沿x轴向上(下)平移b个单位(上加下减).
PSf(x)=3sin(2x+π3)向左平移π4个单位，得到的函数不是f(x)=3sin(2x+π4+π3)，而是f(x)=3sin[2(x+π4)+π3].
(2)伸缩变换
①y=fx?y=AfxA>0
将y=f(x)图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍(A>1伸长，A0
将y=f(x)图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的1ω倍(ω>1缩短，ω0,ω>0)的图象上的点的横坐标缩短为原来的12倍，再向右平移π3个单位得到函数g(x)＝2cos(2x+φ)的图象，则下列说法正确的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为π
B．函数f(x)的单调递增区间为[2kπ?2π3，2kπ+π3](k∈Z)
C．函数f(x)的图象有一条对称轴为x=2π3
D．函数f(x)的图象有一个对称中心为(2π3,0)
【解析】函数f(x)＝Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)的图象上的点的横坐标缩短为原来的12倍，
再向右平移π3个单位得到?(x)＝Asin[2ω(x?π3)+π6]＝Asin(2ωx+π6?2πω3)的图象．
与g(x)＝2cos(2x+φ)＝2sin(2x+φ+π2)比较(利用诱导公式转化同函数名)
又由于A>0,ω>0，所以A=2,ω=1．
所以f(x)=2sin(x+π6)，故函数f(x)的周期为2π，A错误；
令2kπ?π2≤x+π6≤2kπ+π2,k∈Z，解得2kπ?2π3≤x≤2kπ+π3,k∈Z，
所以函数f(x)单调递增区间为[2kπ?2π3,2kπ+π3](k∈Z)，故B正确；
由于f(2π3)=2sin5π6=1，则f(2π3)取不到最值，∴x=2π3不是对称轴，
∵f(2π3)≠0，∴(2π3,0)不是对称中心，即C，D错误．
故选：B．
巩固练习
1(★)将函数y=cosx的图象先左移π4，再纵坐标不变，横坐标缩为原来的12，所得图象的解析式为( )
A．y=sin(2x+π4)B．y=sin(12x+3π4)
C．y=sin(12x+π4)D．y=sin(2x+3π4)
【答案】D
【解析】函数y=cosx=sin(x+π2)，其图象先左移π4个单位，得y=sin(x+3π4)的图象；
再纵坐标不变，横坐标缩为原来的12，得函数y=sin(2x+3π4)的图象；
所以函数y的解析式为y=sin(2x+3π4)．故选：D．
2(★)将函数f(x)=3sin(12x?φ)(|φ|0,|φ|0,ω>0)的图象上的点的横坐标缩短为原来的12倍，再向右平移π3个单位得到函数g(x)=2cos(2x+φ)的图象，则下列说法正确的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为π
B．函数f(x)的单调递增区间为[2kπ?2π3,2kπ+π3](k∈Z)
C．函数f(x)的图象有一条对称轴为x=2π3
D．函数f(x)的图象有一个对称中心为(2π3,0)
【答案】B
【解析】函数f(x)=Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)的图象上的点的横坐标缩短为原来的12倍，再向右平移π3个单位得到：g(x)=Asin(2ωx+π6?2πω3)的图象．
与g(x)=2cos(2x+φ)=2sin(2x+φ+π2)比较，
又由于A>0,ω>0，所以A=2,ω=1．
故sin(2x?π2)=cos(2x－π)=cos(2x+φ)，得到φ=2kπ－π,k∈Z，
所以：f(x)=2sin(x+π6),g(x)=－2cos2x．
故函数f(x)的周期为2π，A错误；
令2kπ?π2≤x+π6≤2kπ+π2,k∈Z，解得2kπ?2π3≤x≤2kπ+π3,k∈Z，
函数f(x)单调递增区间为[2kπ?2π3,2kπ+π3](k∈Z)，故B正确；
由于f(2π3)=2sin5π6=1，可得C,D错误．故选：B．
【题型二】由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式
【典题1】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,00,ω>0)的部分图象求解析式的方法
(1)求A,B：通过函数最值求解，由fmax=A+Bfmin=?A+B得A=fmax?fmin2，B=fmax+fmin2；
(2)求ω：根据图象求出周期T，再利用T=2πω求出ω；
(3)求φ：求出A,ω后代入函数图象一最值点，求出φ.
【典题2】已知函数f(x)=sin?(ωx+φ)(ω>0,00,05π9，(由单调区间得到周期范围)
∴00,ω>0，|φ|0,ω>0,|φ|≤π2)与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P(1,0)，∠PQR=π4，M为QR的中点，PM=342，则A的值为.
【答案】52
【解析】由∠PQR=π4，所以OQ=OR，设Q(m,0)，则R(0,－m)，
又M为QR的中点，所以M(m2,?m2)；
又|PM|=342，即(1?m2)2+(0+m2)2=342；
整理得m2－2m－15=0，解得m=5或m=－3(不合题意，舍去)；
所以R(0,－5)，Q(5,0)；
所以12T=4，解得T=8，所以2πω=8，解得ω=π4；
把P(1,0)代入f(x)=Asin(π4x+φ)，即Asin(π4+φ)=0，
由|φ|≤π2，得φ=?π4；
把R(0,－5)代入f(x)=Asin(π4x?π4)，
得Asin(?π4)=－5，解得A=52．
3(★★)已知函数f(x)=2sin?(ωx+φ)(ω>0,00,0＜φ＜π)部分图象，点A(0,3)，B(π3,0)，
∴2sinφ=3，∴sinφ=32，∴φ=π3，∴f(x)=2sin(ωx+π3)．
再根据五点法作图可得ωπ3+π3=π，求得ω=2，故f(x)=2sin(2x+π3)．
令x=π12，求得f(x)=2，为最大值，
故直线x=π12是f(x)图象的一条对称轴，故A正确；
把g(x)=2sin2x向左平移π3个单位，可得y=2sin(2x+2π3)的图象，故B不正确；
f(x)=2sin(2x+π3)的最小正周期为2π2=π，故C正确；
在区间(?π3,π12)上，2x+π3∈(?π3,π2)，故f(x)=2sin(2x+π3)单调递增，故选：B．
4(★★★)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|0,ω>0,00，若函数y=f(ωx)在区间[?π2,2π3]上是增函数，求ω的取值范围；
(3)若函数g(x)=12[f(2x)+af(x)?af(π2?x)?a]?1在区间[?π4,π2]上的最大值为2，求a的值．
【解析】(1)(函数解析式转化为fx=Asinωx+φ+B形式)
f(x)=2[1?cos(π2+x)]?sinx+cos2x?sin2x?1
=sinx(2+2sinx)+1?2sin2x?1=2sinx．
所以对称中心kπ,0,k∈Z，
(2)∵f(ωx)=2sinωx，由?π2+2kπ≤ωx≤π2+2kπ，
解得?π2ω+2kπω≤x≤π2ω+2kπω，
∴f(ωx)的增区间为?π2ω+2kπω,π2ω+2kπω,k∈Z，
∵f(ωx)在[?π2,2π3]上是增函数，
([?π2,2π3]是函数f(ωx)增区间的子集，而0∈[?π2,2...
1性质
(1)简谐运动可用函数y=Asinωx+φ，x∈[0,+∞)表示，
A是振幅，周期T=2πω，频率f=1T=ω2π，相位ωx+φ，初相φ.
(2)A,ω,φ对f(x)=Asinωx+φ的影响
A影响函数y=f(x)的最值，ω影响周期，φ影响函数水平位置.
2函数的变换
(1)平移变换
①y=fx?y=f(x±a)(a>0)将y=f(x)图像沿x轴向左(右)平移a个单位(左加右减)；
②y=fx?y=fx±b(b>0)将y=f(x)图像沿x轴向上(下)平移b个单位(上加下减).
PSf(x)=3sin(2x+π3)向左平移π4个单位，得到的函数不是f(x)=3sin(2x+π4+π3)，而是f(x)=3sin[2(x+π4)+π3].
(2)伸缩变换
①y=fx?y=AfxA>0
将y=f(x)图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍(A>1伸长，A0
将y=f(x)图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的1ω倍(ω>1缩短，ω0,ω>0)的图象上的点的横坐标缩短为原来的12倍，再向右平移π3个单位得到函数g(x)＝2cos(2x+φ)的图象，则下列说法正确的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为π
B．函数f(x)的单调递增区间为[2kπ?2π3，2kπ+π3](k∈Z)
C．函数f(x)的图象有一条对称轴为x=2π3
D．函数f(x)的图象有一个对称中心为(2π3,0)
【解析】函数f(x)＝Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)的图象上的点的横坐标缩短为原来的12倍，
再向右平移π3个单位得到?(x)＝Asin[2ω(x?π3)+π6]＝Asin(2ωx+π6?2πω3)的图象．
与g(x)＝2cos(2x+φ)＝2sin(2x+φ+π2)比较(利用诱导公式转化同函数名)
又由于A>0,ω>0，所以A=2,ω=1．
所以f(x)=2sin(x+π6)，故函数f(x)的周期为2π，A错误；
令2kπ?π2≤x+π6≤2kπ+π2,k∈Z，解得2kπ?2π3≤x≤2kπ+π3,k∈Z，
所以函数f(x)单调递增区间为[2kπ?2π3,2kπ+π3](k∈Z)，故B正确；
由于f(2π3)=2sin5π6=1，则f(2π3)取不到最值，∴x=2π3不是对称轴，
∵f(2π3)≠0，∴(2π3,0)不是对称中心，即C，D错误．
故选：B．
巩固练习
1(★)将函数y=cosx的图象先左移π4，再纵坐标不变，横坐标缩为原来的12，所得图象的解析式为( )
A．y=sin(2x+π4)B．y=sin(12x+3π4)
C．y=sin(12x+π4)D．y=sin(2x+3π4)
【答案】D
【解析】函数y=cosx=sin(x+π2)，其图象先左移π4个单位，得y=sin(x+3π4)的图象；
再纵坐标不变，横坐标缩为原来的12，得函数y=sin(2x+3π4)的图象；
所以函数y的解析式为y=sin(2x+3π4)．故选：D．
2(★)将函数f(x)=3sin(12x?φ)(|φ|0,|φ|0,ω>0)的图象上的点的横坐标缩短为原来的12倍，再向右平移π3个单位得到函数g(x)=2cos(2x+φ)的图象，则下列说法正确的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为π
B．函数f(x)的单调递增区间为[2kπ?2π3,2kπ+π3](k∈Z)
C．函数f(x)的图象有一条对称轴为x=2π3
D．函数f(x)的图象有一个对称中心为(2π3,0)
【答案】B
【解析】函数f(x)=Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)的图象上的点的横坐标缩短为原来的12倍，再向右平移π3个单位得到：g(x)=Asin(2ωx+π6?2πω3)的图象．
与g(x)=2cos(2x+φ)=2sin(2x+φ+π2)比较，
又由于A>0,ω>0，所以A=2,ω=1．
故sin(2x?π2)=cos(2x－π)=cos(2x+φ)，得到φ=2kπ－π,k∈Z，
所以：f(x)=2sin(x+π6),g(x)=－2cos2x．
故函数f(x)的周期为2π，A错误；
令2kπ?π2≤x+π6≤2kπ+π2,k∈Z，解得2kπ?2π3≤x≤2kπ+π3,k∈Z，
函数f(x)单调递增区间为[2kπ?2π3,2kπ+π3](k∈Z)，故B正确；
由于f(2π3)=2sin5π6=1，可得C,D错误．故选：B．
【题型二】由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式
【典题1】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,00,ω>0)的部分图象求解析式的方法
(1)求A,B：通过函数最值求解，由fmax=A+Bfmin=?A+B得A=fmax?fmin2，B=fmax+fmin2；
(2)求ω：根据图象求出周期T，再利用T=2πω求出ω；
(3)求φ：求出A,ω后代入函数图象一最值点，求出φ.
【典题2】已知函数f(x)=sin?(ωx+φ)(ω>0,00,05π9，(由单调区间得到周期范围)
∴00,ω>0，|φ|0,ω>0,|φ|≤π2)与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P(1,0)，∠PQR=π4，M为QR的中点，PM=342，则A的值为.
【答案】52
【解析】由∠PQR=π4，所以OQ=OR，设Q(m,0)，则R(0,－m)，
又M为QR的中点，所以M(m2,?m2)；
又|PM|=342，即(1?m2)2+(0+m2)2=342；
整理得m2－2m－15=0，解得m=5或m=－3(不合题意，舍去)；
所以R(0,－5)，Q(5,0)；
所以12T=4，解得T=8，所以2πω=8，解得ω=π4；
把P(1,0)代入f(x)=Asin(π4x+φ)，即Asin(π4+φ)=0，
由|φ|≤π2，得φ=?π4；
把R(0,－5)代入f(x)=Asin(π4x?π4)，
得Asin(?π4)=－5，解得A=52．
3(★★)已知函数f(x)=2sin?(ωx+φ)(ω>0,00,0＜φ＜π)部分图象，点A(0,3)，B(π3,0)，
∴2sinφ=3，∴sinφ=32，∴φ=π3，∴f(x)=2sin(ωx+π3)．
再根据五点法作图可得ωπ3+π3=π，求得ω=2，故f(x)=2sin(2x+π3)．
令x=π12，求得f(x)=2，为最大值，
故直线x=π12是f(x)图象的一条对称轴，故A正确；
把g(x)=2sin2x向左平移π3个单位，可得y=2sin(2x+2π3)的图象，故B不正确；
f(x)=2sin(2x+π3)的最小正周期为2π2=π，故C正确；
在区间(?π3,π12)上，2x+π3∈(?π3,π2)，故f(x)=2sin(2x+π3)单调递增，故选：B．
4(★★★)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|0,ω>0,00，若函数y=f(ωx)在区间[?π2,2π3]上是增函数，求ω的取值范围；
(3)若函数g(x)=12[f(2x)+af(x)?af(π2?x)?a]?1在区间[?π4,π2]上的最大值为2，求a的值．
【解析】(1)(函数解析式转化为fx=Asinωx+φ+B形式)
f(x)=2[1?cos(π2+x)]?sinx+cos2x?sin2x?1
=sinx(2+2sinx)+1?2sin2x?1=2sinx．
所以对称中心kπ,0,k∈Z，
(2)∵f(ωx)=2sinωx，由?π2+2kπ≤ωx≤π2+2kπ，
解得?π2ω+2kπω≤x≤π2ω+2kπω，
∴f(ωx)的增区间为?π2ω+2kπω,π2ω+2kπω,k∈Z，
∵f(ωx)在[?π2,2π3]上是增函数，
([?π2,2π3]是函数f(ωx)增区间的子集，而0∈[?π2,2...
