6.1-6.2.3 平面向量的概念与运算 -新教材人教A版必修第二册练习(学生版) 人教版
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平面向量的概念与运算
知识点一平面向量的概念
1向量的概念
既有大小又有方向的量，常用AB，a等表示；向量AB的长度是向量的模，记作|AB|.
PS平面向量在平面内是可以任意移动的.
2常见向量的概念
名称
定义
特点
零向量
长度为0的向量
零向量的方向是任意的
单位向量
长度为一个单位长度的向量
与AB共线的单位向量是±ABAB
相等向量
长度相等且方向相同的两个向量
相等向量有传递性
平行向量
(共线向量)
方向相同或相反的非零向量a，b，
记作a//b
零向量和任何向量平行
相反向量
长度相等方向相反的向量
a的相反向量记作?a
PS
(1)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
(2)平行向量无传递性！(因为有0)；
(3)因为平面向量在平面内是可以任意移动的，与线段不一样，所以向量没有固定的起点和终点，两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念.
图一线段AB和CD,在①中是AB//CD，在②中是AB、CD共线；
(图一)
图二向量AB和CD,对于向量来说共线与平行是同一概念，故①和②的情况是一样.
(图二)
知识点二平面向量的运算
1向量的加法
①向量加法的三角形法则
已知向量非零向量a,b,在平面内取任意一点A,作AB=a,BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC.(相当于”首尾相接”)
②向量加法的平行四边形法则
若AB=a,AD=b，则向量AC叫做a与b的和，即a+b=AB+AD=AC；
作图
(ABCD是平行四边形)
2向量的减法
①向量减法的几何意义
已知向量a,b,在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b,则BA=a?b，
即a?b可以表示向量b的终点指向向量a的终点的向量.
②一般地,我们有
a+b≤|a|+|b|
当且仅当a,b方向相同时等号成立.
③向量的加减法满足交换律和结合律
④若OC=xOA+yOB
(1)如图一，若A,B,C三点共线，则x+y=1；
(2)如图二，若点O和点C在AB同侧，则x+y1；
图一图二图三
特殊的，在三角形?ABC中，点D是BC的中点，则AD=12AB+12AC.
3向量数乘运算
一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa；
它的长度与方向规定如下：
(1)λa=|λ||a|；
(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同；当λ0时,λa的方向与a的方向相同；
当λ|b|且a→与b同向，则a>b；
③若a=b,b=c,则a=c；
④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；
⑤若|a|=|b|,则a=b；
⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中正确命题数是哪些？
【题型二】共线定理
【典题1】点C在直线AB上，且|AC|=23|CB|，若AB=λBC，则λ=.
【题型三】向量的加减法
【典题1】若|a+b|=|a?b|，则a与b的夹角为________.
【典题2】在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，BE与CD交于点P，设AB=a，
AC=b，则AP=( )
A．13a+13bB．23a+23bC．34a+34bD．16a+16b
【典题3】点O在△ABC的内部，且满足OA+2OB+4OC=0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比是.
巩固练习
1(★)对下列命题：
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
(2)若向量|a|=|b|，则a→与b的长度相等且方向相同或相反；
(3)对于任意向量|a|=|b|，若a与b的方向相同，则a=b；
(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；
(5)向量a与b平行，则向量a与b方向相同或相反．
其中正确的命题的个数为 .
2(★)在△ABC中，AB=a，AC=b，若点D满足BD=2DC，则AD＝______．(用a、b表示)
3(★★)如图，在?OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且BC=3BF，若OC=mOE+nOF，其中m,n∈R，则m+n的值为______．
4(★★)如图，在△ABC中，AD=14AB，AE=12AC，BE和CD相交于点F，则向量AF等于______．
5(★★★)设G是△ABC的重心，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，若aGA+bGB+cGC=0，则△ABC的形状是．
6(★★★)已知点O是△ABC内部一点，并且满足OA+2OB+3OC=0，△BOC的面积为S1，△ABC的面积为S2，则S1S2=．
7(★★★)在△ABC中，E,F分别为AB,AC中点，P为线段EF上任意一点，实数x,y满足PA+xPB+yPC=0，设△ABC,△PCA,△PAB的面积分别为S,S1,S2，记S1S=λ1，S2S=λ2，则λ1λ2取得最大值时，2x+3y的值为．
8(★★★)已知G是△ABC的重心，直线EF过点G且与边AB、AC分别交于点E、F，AE=αAB，AF=βAC，则1α+1β的值为．
9(★★★)已知平面向量a，b，c满足：|a|=|b|=|c|=1，a⊥b，则|2c?a|+|12c?b|的最小值为．
知识点一平面向量的概念
1向量的概念
既有大小又有方向的量，常用AB，a等表示；向量AB的长度是向量的模，记作|AB|.
PS平面向量在平面内是可以任意移动的.
2常见向量的概念
名称
定义
特点
零向量
长度为0的向量
零向量的方向是任意的
单位向量
长度为一个单位长度的向量
与AB共线的单位向量是±ABAB
相等向量
长度相等且方向相同的两个向量
相等向量有传递性
平行向量
(共线向量)
方向相同或相反的非零向量a，b，
记作a//b
零向量和任何向量平行
相反向量
长度相等方向相反的向量
a的相反向量记作?a
PS
(1)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
(2)平行向量无传递性！(因为有0)；
(3)因为平面向量在平面内是可以任意移动的，与线段不一样，所以向量没有固定的起点和终点，两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念.
图一线段AB和CD,在①中是AB//CD，在②中是AB、CD共线；
(图一)
图二向量AB和CD,对于向量来说共线与平行是同一概念，故①和②的情况是一样.
(图二)
知识点二平面向量的运算
1向量的加法
①向量加法的三角形法则
已知向量非零向量a,b,在平面内取任意一点A,作AB=a,BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC.(相当于”首尾相接”)
②向量加法的平行四边形法则
若AB=a,AD=b，则向量AC叫做a与b的和，即a+b=AB+AD=AC；
作图
(ABCD是平行四边形)
2向量的减法
①向量减法的几何意义
已知向量a,b,在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b,则BA=a?b，
即a?b可以表示向量b的终点指向向量a的终点的向量.
②一般地,我们有
a+b≤|a|+|b|
当且仅当a,b方向相同时等号成立.
③向量的加减法满足交换律和结合律
④若OC=xOA+yOB
(1)如图一，若A,B,C三点共线，则x+y=1；
(2)如图二，若点O和点C在AB同侧，则x+y1；
图一图二图三
特殊的，在三角形?ABC中，点D是BC的中点，则AD=12AB+12AC.
3向量数乘运算
一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa；
它的长度与方向规定如下：
(1)λa=|λ||a|；
(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同；当λ0时,λa的方向与a的方向相同；
当λ|b|且a→与b同向，则a>b；
③若a=b,b=c,则a=c；
④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；
⑤若|a|=|b|,则a=b；
⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中正确命题数是哪些？
【题型二】共线定理
【典题1】点C在直线AB上，且|AC|=23|CB|，若AB=λBC，则λ=.
【题型三】向量的加减法
【典题1】若|a+b|=|a?b|，则a与b的夹角为________.
【典题2】在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，BE与CD交于点P，设AB=a，
AC=b，则AP=( )
A．13a+13bB．23a+23bC．34a+34bD．16a+16b
【典题3】点O在△ABC的内部，且满足OA+2OB+4OC=0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比是.
巩固练习
1(★)对下列命题：
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
(2)若向量|a|=|b|，则a→与b的长度相等且方向相同或相反；
(3)对于任意向量|a|=|b|，若a与b的方向相同，则a=b；
(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；
(5)向量a与b平行，则向量a与b方向相同或相反．
其中正确的命题的个数为 .
2(★)在△ABC中，AB=a，AC=b，若点D满足BD=2DC，则AD＝______．(用a、b表示)
3(★★)如图，在?OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且BC=3BF，若OC=mOE+nOF，其中m,n∈R，则m+n的值为______．
4(★★)如图，在△ABC中，AD=14AB，AE=12AC，BE和CD相交于点F，则向量AF等于______．
5(★★★)设G是△ABC的重心，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，若aGA+bGB+cGC=0，则△ABC的形状是．
6(★★★)已知点O是△ABC内部一点，并且满足OA+2OB+3OC=0，△BOC的面积为S1，△ABC的面积为S2，则S1S2=．
7(★★★)在△ABC中，E,F分别为AB,AC中点，P为线段EF上任意一点，实数x,y满足PA+xPB+yPC=0，设△ABC,△PCA,△PAB的面积分别为S,S1,S2，记S1S=λ1，S2S=λ2，则λ1λ2取得最大值时，2x+3y的值为．
8(★★★)已知G是△ABC的重心，直线EF过点G且与边AB、AC分别交于点E、F，AE=αAB，AF=βAC，则1α+1β的值为．
9(★★★)已知平面向量a，b，c满足：|a|=|b|=|c|=1，a⊥b，则|2c?a|+|12c?b|的最小值为．
