6.1-6.2.3 平面向量的概念与运算 -新教材人教A版必修第二册练习(教师版) 人教版
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平面向量的概念与运算
知识点一平面向量的概念
1向量的概念
既有大小又有方向的量，常用AB，a等表示；向量AB的长度是向量的模，记作|AB|.
PS平面向量在平面内是可以任意移动的.
2常见向量的概念
名称
定义
特点
零向量
长度为0的向量
零向量的方向是任意的
单位向量
长度为一个单位长度的向量
与AB共线的单位向量是±ABAB
相等向量
长度相等且方向相同的两个向量
相等向量有传递性
平行向量
(共线向量)
方向相同或相反的非零向量a，b，
记作a//b
零向量和任何向量平行
相反向量
长度相等方向相反的向量
a的相反向量记作?a
PS
(1)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
(2)平行向量无传递性！(因为有0)；
(3)因为平面向量在平面内是可以任意移动的，与线段不一样，所以向量没有固定的起点和终点，两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念.
图一线段AB和CD,在①中是AB//CD，在②中是AB、CD共线；
(图一)
图二向量AB和CD,对于向量来说共线与平行是同一概念，故①和②的情况是一样.
(图二)
知识点二平面向量的运算
1向量的加法
①向量加法的三角形法则
已知向量非零向量a,b,在平面内取任意一点A,作AB=a,BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC.(相当于”首尾相接”)
②向量加法的平行四边形法则
若AB=a,AD=b，则向量AC叫做a与b的和，即a+b=AB+AD=AC；
作图
(ABCD是平行四边形)
2向量的减法
①向量减法的几何意义
已知向量a,b,在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b,则BA=a?b，
即a?b可以表示向量b的终点指向向量a的终点的向量.
②一般地,我们有
a+b≤|a|+|b|
当且仅当a,b方向相同时等号成立.
③向量的加减法满足交换律和结合律
④若OC=xOA+yOB
(1)如图一，若A,B,C三点共线，则x+y=1；
(2)如图二，若点O和点C在AB同侧，则x+y1；
图一图二图三
特殊的，在三角形?ABC中，点D是BC的中点，则AD=12AB+12AC.
3向量数乘运算
一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa；
它的长度与方向规定如下：
(1)λa=|λ||a|；
(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同；当λ0时,λa的方向与a的方向相同；
当λ|b|且a→与b同向，则a>b；
③若a=b,b=c,则a=c；
④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；
⑤若|a|=|b|,则a=b；
⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中正确命题数是哪些？
【解析】对于①，对于向量来说，共线向量即是平行向量，所以向量AB与CD是共线向量，
A、B、C、D四点不一定在一直线上，①错误；
对于②，向量是有方向的量，不能比较大小，其模才能比较大小，故②错误；
对于③，若a=b,b=c,则a=c成立，故③对；
对于④，向量是可以平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故④错误；
对于⑤a=b只说明两个向量的模相等，要a=b还需要向量方向相同；
对于⑥当b为零向量时不成立，零向量与任何向量都平行.
【点拨】
①向量是可以平移的矢量，没有固定的起点，共线向量即是平行向量,与线段、直线不一样；
②零向量与任何向量都平行，在判断向量关系时要注意零向量的特殊情况.
【题型二】共线定理
【典题1】点C在直线AB上，且|AC|=23|CB|，若AB=λBC，则λ=.
【解析】(点C在直线AB上，注意分类讨论)
(1)当点C在线段AB上，如图所示；
∵AC=23|BC|，所以AB=53|BC|；
若AB=λBC，则λ=?53；
(2)当点C在线段BA延长线上，如图所示；
∵AC=23|BC|，所以AB=3|BC|；
若AB=λBC，则λ=?3；
【点拨】体会下线段比与向量比之间的相互转化，若AB=λBC，则λ=|AB||BC|或λ=?|AB||BC|.
【题型三】向量的加减法
【典题1】若|a+b|=|a?b|，则a与b的夹角为________.
【解析】构造平行四边形ABCD，|a+b|,|a?b|分别对角线BD,AC，因为|a+b|=|a?b|，
所以平行四边形ABCD的对角线相等，即ABCD是矩形，故a与b的的夹角为90°.
【典题2】在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，BE与CD交于点P，设AB=a，
AC=b，则AP=( )
A．13a+13bB．23a+23bC．34a+34bD．16a+16b
【解析】方法1首尾相接法
AP=AB+BP
=AB+λBE=AB+λBA+AE
=AB+λBA+12AC
=1?λAB+λ2AC=1?λa+λ2b，其中λ=BPBE
(利用平几知识点求出λ)
如图过点E作EF//AB,
∵E、D是中点，∴EF=12AD=12BD
∴BPBE=23即λ=23
∴AP=1?λa+λ2b=13a+13b.
方法2构造平行四边形法
过点P分别作PH//AB,PG//AC,则四边形AGPH是平行四边形，
则AP=AG+AH=xAB+yAC=xa+yb，
其中x=AGAB,y=AHAC，
(问题化为线段比值问题)
由方法1可得BPBE=23
∵x=AGAB=PEBE=BE?BPBE=1?BPBE=1?23=13，同理可得y=13
∴AP=13a+13b.
方法3△ABC中，D,E分别为边AB,AC的中点，
∴AD=12AB，AE=12AC．
∵B,P,E三点共线，设AP=mAB+(1?m)AE=mAB+12(1?m)AC，
∵C,P,D三点共线，设AP=nAD+(1?n)AC=12nAB+(1?n)AC，
∴m=12n12(1?m)=1?n，解得m=13n=23，
∴AP=13AB+13AC=13a+13b．故选：A．
【点拨】
①本题是用向量AB=a、AC=b表示AP；
②方法1是利用三角形法则，“首尾相接法”,思路是：先找到一个含AP的封闭图形，比如?ABP,则有AP=AB+BP，接着BP尽量向向量AB、AC凑拢，得到AP=1?λa+λ2b后就只需要求出λ=BPBE就行；
③方法2是构造平行四...
知识点一平面向量的概念
1向量的概念
既有大小又有方向的量，常用AB，a等表示；向量AB的长度是向量的模，记作|AB|.
PS平面向量在平面内是可以任意移动的.
2常见向量的概念
名称
定义
特点
零向量
长度为0的向量
零向量的方向是任意的
单位向量
长度为一个单位长度的向量
与AB共线的单位向量是±ABAB
相等向量
长度相等且方向相同的两个向量
相等向量有传递性
平行向量
(共线向量)
方向相同或相反的非零向量a，b，
记作a//b
零向量和任何向量平行
相反向量
长度相等方向相反的向量
a的相反向量记作?a
PS
(1)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
(2)平行向量无传递性！(因为有0)；
(3)因为平面向量在平面内是可以任意移动的，与线段不一样，所以向量没有固定的起点和终点，两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念.
图一线段AB和CD,在①中是AB//CD，在②中是AB、CD共线；
(图一)
图二向量AB和CD,对于向量来说共线与平行是同一概念，故①和②的情况是一样.
(图二)
知识点二平面向量的运算
1向量的加法
①向量加法的三角形法则
已知向量非零向量a,b,在平面内取任意一点A,作AB=a,BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC.(相当于”首尾相接”)
②向量加法的平行四边形法则
若AB=a,AD=b，则向量AC叫做a与b的和，即a+b=AB+AD=AC；
作图
(ABCD是平行四边形)
2向量的减法
①向量减法的几何意义
已知向量a,b,在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b,则BA=a?b，
即a?b可以表示向量b的终点指向向量a的终点的向量.
②一般地,我们有
a+b≤|a|+|b|
当且仅当a,b方向相同时等号成立.
③向量的加减法满足交换律和结合律
④若OC=xOA+yOB
(1)如图一，若A,B,C三点共线，则x+y=1；
(2)如图二，若点O和点C在AB同侧，则x+y1；
图一图二图三
特殊的，在三角形?ABC中，点D是BC的中点，则AD=12AB+12AC.
3向量数乘运算
一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa；
它的长度与方向规定如下：
(1)λa=|λ||a|；
(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同；当λ0时,λa的方向与a的方向相同；
当λ|b|且a→与b同向，则a>b；
③若a=b,b=c,则a=c；
④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；
⑤若|a|=|b|,则a=b；
⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中正确命题数是哪些？
【解析】对于①，对于向量来说，共线向量即是平行向量，所以向量AB与CD是共线向量，
A、B、C、D四点不一定在一直线上，①错误；
对于②，向量是有方向的量，不能比较大小，其模才能比较大小，故②错误；
对于③，若a=b,b=c,则a=c成立，故③对；
对于④，向量是可以平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故④错误；
对于⑤a=b只说明两个向量的模相等，要a=b还需要向量方向相同；
对于⑥当b为零向量时不成立，零向量与任何向量都平行.
【点拨】
①向量是可以平移的矢量，没有固定的起点，共线向量即是平行向量,与线段、直线不一样；
②零向量与任何向量都平行，在判断向量关系时要注意零向量的特殊情况.
【题型二】共线定理
【典题1】点C在直线AB上，且|AC|=23|CB|，若AB=λBC，则λ=.
【解析】(点C在直线AB上，注意分类讨论)
(1)当点C在线段AB上，如图所示；
∵AC=23|BC|，所以AB=53|BC|；
若AB=λBC，则λ=?53；
(2)当点C在线段BA延长线上，如图所示；
∵AC=23|BC|，所以AB=3|BC|；
若AB=λBC，则λ=?3；
【点拨】体会下线段比与向量比之间的相互转化，若AB=λBC，则λ=|AB||BC|或λ=?|AB||BC|.
【题型三】向量的加减法
【典题1】若|a+b|=|a?b|，则a与b的夹角为________.
【解析】构造平行四边形ABCD，|a+b|,|a?b|分别对角线BD,AC，因为|a+b|=|a?b|，
所以平行四边形ABCD的对角线相等，即ABCD是矩形，故a与b的的夹角为90°.
【典题2】在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，BE与CD交于点P，设AB=a，
AC=b，则AP=( )
A．13a+13bB．23a+23bC．34a+34bD．16a+16b
【解析】方法1首尾相接法
AP=AB+BP
=AB+λBE=AB+λBA+AE
=AB+λBA+12AC
=1?λAB+λ2AC=1?λa+λ2b，其中λ=BPBE
(利用平几知识点求出λ)
如图过点E作EF//AB,
∵E、D是中点，∴EF=12AD=12BD
∴BPBE=23即λ=23
∴AP=1?λa+λ2b=13a+13b.
方法2构造平行四边形法
过点P分别作PH//AB,PG//AC,则四边形AGPH是平行四边形，
则AP=AG+AH=xAB+yAC=xa+yb，
其中x=AGAB,y=AHAC，
(问题化为线段比值问题)
由方法1可得BPBE=23
∵x=AGAB=PEBE=BE?BPBE=1?BPBE=1?23=13，同理可得y=13
∴AP=13a+13b.
方法3△ABC中，D,E分别为边AB,AC的中点，
∴AD=12AB，AE=12AC．
∵B,P,E三点共线，设AP=mAB+(1?m)AE=mAB+12(1?m)AC，
∵C,P,D三点共线，设AP=nAD+(1?n)AC=12nAB+(1?n)AC，
∴m=12n12(1?m)=1?n，解得m=13n=23，
∴AP=13AB+13AC=13a+13b．故选：A．
【点拨】
①本题是用向量AB=a、AC=b表示AP；
②方法1是利用三角形法则，“首尾相接法”,思路是：先找到一个含AP的封闭图形，比如?ABP,则有AP=AB+BP，接着BP尽量向向量AB、AC凑拢，得到AP=1?λa+λ2b后就只需要求出λ=BPBE就行；
③方法2是构造平行四...
