平面向量的数量积



数量积的概念

1概念

如果两个非零向量a,b，它们的夹角为θ，我们把数量a|b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作:a?b，即a?b=a|b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积是0.

PS数量积是一个实数，不再是一个向量.

2投影

向量b在向量a上的投影：|b|cosθ，它是一个实数，但不一定大于0.

3运算法则

对于向量a,b,c和实数λ，有

(1)a?b=b?a(2)λa?b=λ(a?b)=a?λb(3) (a+b)?c=a?c+b?c

但是(a?b)c=a(b?c)不一定成立.

(当向量a，c不共线时，向量a(b?c)与向量(a?b)c肯定不共线，那怎么可能相等呢)

即向量的数量积满足交换律，分配率，但不满足结合律.





【题型一】求数量积

【典题1】已知向量a，b满足|a+b|=|b|，且|a→|=2，则a?b=．













【典题2】在三角形ABC中，若|AB+BC|=|AB?BC|，AC=6，AB=3，E，F为BC边的三等分点，则AE?AF=．



















【题型二】求向量夹角

【典题1】已知向量a,b满足|a|=1，|b|=2，|a+2b|=21，那么向量a与b的夹角为．













【典题2】已知向量a，b满足|a→|=1，(a?b)⊥(3a?b)，则a与b的夹角的最大值为．













【题型三】求数量积最值

【典题1】如图，已知等腰梯形ABCD中，AB=2DC=4，AD=BC=3，E是DC的中点，F是线段BC上的动点，则EF?BF的最小值是.















【典题2】如图，已知矩形ABCD的边长AB=2,AD=1．点P,Q分别在边BC,CD上，且∠PAQ=45°，则AP?AQ的最小值为．















【典题3】已知向量a，b，c满足a+b+c=0，|c|=23，c与a?b所成的角为120°，则当t∈R时，|ta+(1－t)b|的最小值是．











巩固练习

1(★)已知向量a，b→满足|a+b|=|b|，且|a|=2，则a?b=.

2(★★)已知非零向量a，b满足|a→|=34|b|，cos＜a，b>=13，若(ma+4b)⊥b，则实数m的值为.

3(★★)已知向量a，b满足|a|=1，(a?b)⊥(3a?b)，则a与b的夹角的最大值为.

4(★★)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,AB=4,AD=3,CD=2，AM=2MD，AC?BM=?3，则AB?AD=.



5(★★)已知△ABC中，点M在线段AB上，∠ACB=2∠BCM=60°，且CM?λCB=23CA．若|CM|=6，则CM?AB=.

6(★★★)设H是△ABC的垂心，且3HA+4HB+5HC=0，则cos∠BHC的值为.

7(★★★)已知P为△ABC所在平面内的一点，BP=2PC，|AP|=4，若点Q在线段AP上运动，则QA?(QB+2QC)的最小值为.

8(★★★)已知非零向量a,b,c满足：(a?2c)(b?2c)=0且不等式|a+b|+|a?b|≥λ|c|恒立，则实数λ的最大值为.

9(★★★)已知平面向量a，b，c，对任意实数x,y都有|a?xb|≥|a?b|，|a?yc|≥|a?c|成立．若|a|=2，则b(c?a)的最大值是.

10(★★★)设θ为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|b?ta|的最小值为1，则( )

A．若θ确定，则|a|唯一确定B．若θ确定，则|b|唯一确定

C．若|a|确定，则θ唯一确定D．若|b|确定，则θ唯一确定