平面向量的数量积



1概念

如果两个非零向量a,b，它们的夹角为θ，我们把数量a|b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作:a?b，即a?b=a|b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积是0.

PS数量积是一个实数，不再是一个向量.

2投影

向量b在向量a上的投影：|b|cosθ，它是一个实数，但不一定大于0.

3运算法则

对于向量a,b,c和实数λ，有

(1)a?b=b?a(2)λa?b=λ(a?b)=a?λb(3) (a+b)?c=a?c+b?c

但是(a?b)c=a(b?c)不一定成立.

(当向量a，c不共线时，向量a(b?c)与向量(a?b)c肯定不共线，那怎么可能相等呢)

即向量的数量积满足交换律，分配率，但不满足结合律.





【题型一】求数量积

【典题1】已知向量a，b满足|a+b|=|b|，且|a→|=2，则a?b=．

【解析】因为|a+b|=|b|，即有a+b2=b2，

所以a2+2a?b+b2=b→2，则2a?b=?a2=?4，所以a?b=?2．

【点拨】①由数量积的定义可知a2=a2

②题目中遇到类似|a+b|可尝试利用性质a2=a2达到去掉绝对值的目的.





【典题2】在三角形ABC中，若|AB+BC|=|AB?BC|，AC=6，AB=3，E，F为BC边的三等分点，则AE?AF=．



【解析】若|AB+BC|=|AB?BC|，

则AB2+BC2+2AB?BC=AB2+BC2?2AB?BC，即有AB?BC=0，

∵AC=6,AB=3，∴BC2=62?32=27．

∵E,F为BC边的三等分点，

则AE?AF=(AB+BE)(AB+BF)=(AB+13BC)(AB+23BC)

(利用首尾相接法把向量向AB、BC靠拢)

=29BC2+AB2+AB?BC=29×27+32+0=15．

【点拨】

①已知条件|AB+BC|=|AB?BC|利用性质a2=a2可得到AB?BC=0，其实也可以通过平行四边形法则和三角形法则得到的；

②求数量积AE?AF,第一个想法用数量积公式AE?AF=AE?AFcos∠EAF,但是发现题目已知条件中很难求解AE、AF、cos∠EAF.又因为AB?BC=0，又知道AB、BC的长度，故想到把AE?AF转化为用AB、BC表示.

③在求数量积的时候，直接用公式很难求解，都尽量向“信息量大”的向量靠拢.



【题型二】求向量夹角

【典题1】已知向量a,b满足|a|=1，|b|=2，|a+2b|=21，那么向量a与b的夹角为．

【解析】∵|a|=1,|b|=2,|a+2b|=21，

∴(a+2b)2=a2+4b2+4a?b=1+16+4a?b=21，

∴a?b=1，

∴cos=a?b|a||b|=12，且0≤≤π，

∴a与b的夹角为π3．

【典题2】已知向量a，b满足|a→|=1，(a?b)⊥(3a?b)，则a与b的夹角的最大值为．

【解析】∵|a|=1,(a?b)⊥(3a?b)，

∴(a?b)?(3a?b)=3a2+b2?4a?b=3+b2?4a?b=0，

∴a?b=|b|2+34，

∴cos=a?b|a||b|=|b|2+34|b|=|b|+3|b|4≥32，且0°≤≤180°，

∴cos=32时，a,b的夹角最大为30°．



【题型三】求数量积最值

【典题1】如图，已知等腰梯形ABCD中，AB=2DC=4，AD=BC=3，E是DC的中点，F是线段BC上的动点，则EF?BF的最小值是.



【解析】由等腰梯形的知识可知cosB=33，

设BF=x，则CF=3?x，

∴EF?BF=(EC+CF)BF=EC?BF+CF?BF

=1?x(?33)+(3?x)?x?(?1)=x2?433x,

∵0≤x≤3，

∴当x=233时，EF?BF取得最小值，最小值为2332?233×433=?43．



【典题2】如图，已知矩形ABCD的边长AB=2,AD=1．点P,Q分别在边BC,CD上，且∠PAQ=45°，则AP?AQ的最小值为．



【解析】设∠PAB=θ，则∠DAQ=45°?θ，

AP?AQ=|AP||AQ|cos45°=2cosθ?1cos(45°?θ)?22=2cosθ?(22cosθ+22sinθ)，

=2cos2θ+cosθsinθ=21+cos2θ2+sin2θ2=222sin(2θ+45°)+12≥222+12=42?4，

当且仅当2θ+45°=90°，

∴θ=22.5°时取“=”，当θ=22.5°时，点P恰在边BC上，Q恰边CD上，满足条件，

综上所述，AP?AQ的最小值为42?4，

故答案为：42?4．



【典题3】已知向量a，b，c满足a+b+c=0，|c|=23，c与a?b所成的角为120°，则当t∈R时，|ta+(1－t)b|的最小值是．

【解析】



∵a+b+c=0，∴c=?(a+b)，

又c与a?b所成的角为120°，∴∠OEA=120°，

(此时由平行四边形法则和三角形法则构造出一个平行四边形OADB)

∴∠OEB=60°|c|=23，

∴OD=23,OE=3,

|ta+(1－t)b|=|b+t(a?b)|=|OB+tBA|，

∵BP与BA共线，BA≠0，设BP=tBA，

则|ta+(1－t)b|=|OP|(P是直线BA上的动点)，

(其实由性质“若OC=xOA+yOB,x+y=1,则点C在直线AB上”很容易知道：直线BA上的存在一动点P,使得OP→=ta+(1－t)b)

所以当OP垂直于AB时，|ta+(1?t)b|=|OP|最小，为OE×sin60°=3×32=32.

【点拨】①题中遇到类似a+b+c=0的等式，很容易想到移项，再利用平行四边形法则进行构造图形求解；

②本题中求|ta+(1?t)b|的最小值，那我们根据平行四边形法则找到向量ta+(1?t)b,确定出

|ta+(1?t)b|的几何意义从而求解成功.

巩固练习

1(★)已知向量a，b→满足|a+b|=|b|，且|a|=2，则a?b=.

【答案】?2

【解析】因为|a→+b→|=|b→|，即有|a→+b→|2=|b→|2，

所以a→2+2a→?b→+b→2=b→2，则2a→?b→=?a→2=－4，

所以a→?b→=?2，

2(★★)已知非零向量a，b满足|a→|=34|b|，cos＜a，b>=13，若(ma+4b)⊥b，则实数m的值为.

【答案】－16

【解析】∵已知非零向量a→，b→满足|a→|=34|b→|，cos＜a→，b→＞=13，

若(ma→+4b→)⊥b→，

∴(ma→+4b→)b→=ma→?b→+4b→2=m34|b→||b→|13+4|b→|2=0，

求得m=－16，

3(★★)已知向量a，b满足|a|=1，(a?b)⊥(3a?b)，则a与b的夹角的最大值为.

【答案】30°

【解析】∵|a→|=1，(a→?b→)⊥(3a→?b→)，

∴(a→?b→)?(3a→?b→)=3a→2+b→2?4a→?b→=3+b→2?4a→?b→=0，

∴a→?b→=|b→|2+34，

∴cos＜a→，b→＞=a→?b→|a→||b→|=|b→|2+34|b→|=|b→|+3|b→|4≥32，且0°≤＜a→，b→＞≤180°，

∴cos＜a→，b→＞=32时，a→，b→的夹角最大为30°．

4(★★)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,AB=4,AD=3,CD=2，AM=2MD，AC?BM=?3，则AB?AD=.



【答案】32

【解析】∵在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，AD=3，CD=2，AM→=2MD→，

∴AC→?BM→=(AD→+DC→)(BA→+AM→)=(AD→+12AB→)(?...