平面向量的基本定理及坐标表示



知识点一平面向量的基本定理

1平面向量的基本定理

设e1，e2同一平面内的两个不共线向量，a是该平面内任一向量，则存在唯一实数对(λ，μ)，使a=λe1+μe2.

我们把{e1，e2}叫做表示这个平面内所有向量的一个基底.

如下图，a=OM+ON=λe1+μe2，其中λ=|OM||OA|，μ=|ON||OB|.

PS唯一性的解释

若e1，e2不共线，且λ1e1+μ1e2=λ2e1+μ2e2,则λ1=λ2,μ1=μ2.

2正交分解及其坐标表示

①正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解；



如上图，重力G分解成平行斜面的力F1和垂直于斜面的压力F2.

②向量的坐标表示

在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j为基底，则平面内的任一向量a可表示为a=xi+yj=(x,y)，(x,y)称为向量a的坐标，a=(x,y)叫做向量a的坐标表示.

向量a=(x,y)，就是以原点为起点，点(x,y)为终点的向量.

知识点二平面向量数乘运算与数量积的坐标表示

1坐标运算

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则

(1)向量的模a=x12+y12

(2)向量的加减法运算a+b=x1+x2,y1+y2，a?b=(x1?x2,y1?y2)

(3)若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB=(x2?x1,y2?y1)

(4)实数与向量的积λa=λ(x1,y1)=(λx1,λy1)

(5)数量积a?b=x1x2+y1y2

(6)夹角余弦值cos=a?b|a|b|=x1x2+y1y2x12+y12?x22+y22.

拓展定比分点

线段P1P2的端点P1、P2的坐标分别是(x1,y1)，(x2,y2)，点P是直线P1P2上的一点，

当P1P=λPP2时，点P的坐标是(x1+λx21+λ,y1+λy21+λ).



2平面向量位置关系

若a(x1,y1)，b(x2,y2)，

a∥b?x1y2=x2y1，

a⊥b?a?b=0?x1x2+y1y2=0.





【题型一】平面向量的基本定理的理解

【典题1】如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )

A．e1与e1+e2B．e1?2e2与e1+2e2

C．e1+e2→与e1?e2D．e1?2e2与?e1+2e2



【典题2】已知方程ax2+bx+c=0，其中a，b，c是非零向量，且a,b不共线，则该方程( )

A．至多有一个解B．至少有一个解

C．至多有两个解D．可能有无数多个解



【题型二】平面向量的基本定理的运用

【典题1】已知在△ABC中，M,N分别是边AB,AC上的点，且AM=2MB，AN=3NC，BN与CM相交于点P,记a=AB，b=AC，用a，b表示AP的结果是( )

A．AP=13a+23bB．AP=12a+13bC．AP=25a+13bD．AP=13a+12b

















【典题2】如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若AD=xAB+yAC，求x,y.





















【典题3】在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AB=BC=2AD=2，E，F分别为BC，CD的中点，以A为圆心，AD为半径的半圆分别交BA及其延长线于点M，N，点P在MDN上运动(如图)．若AP=λAE+μBF，其中λ,μ∈R，则2λ?5μ的取值范围是.



























巩固练习

1(★)下列各组向量中，可以作为基底的是( )

A．e1=(0,0),e2=(1,2)B．e1=(?1,2),e2=(5,7)

C．e1=(3,5),e2=(6,10)D．e1=(2,?3),e2=(?6,9)

2(★★)如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中AP=λAB+μAE，下列判断正确的是( )



A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个

C．满足λ+μ=a(a>0)的点P最多有3个D．λ+μ的最大值为3

3(★★)如图，在△ABC中，设AB=a，AC=b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，若AP=ma+nb，则m、n对应的值为．



4(★★)如图，已知|OA|=|OB|=1，|OC|=3，OC⊥OB，＜OA，OC>=30°，若OC=xOA+yOB，则x+y=．



5(★★★)在平面向量中有如下定理：设点O、P、Q、R为同一平面内的点，则P、Q、R三点共线的充要条件是：存在实数t，使OP=(1?t)OQ+tOR．试利用该定理解答下列问题：如图，在△ABC中，点E为AB边的中点，点F在AC边上，且CF=2FA，BF交CE于点M，设AM=xAE+yAF，则x+y=．



6(★★★)在梯形ABCD中，AB=2DC，BE=13BC，P为线段DE上的动点(包括端点)，且AP=λAB+μBC(λ,μ∈R)，则λ2+μ的最小值为．

7(★★★)如图，正方形ABCD的边长为2，E,F分别为BC,CD的动点，且|BE|=2|CF|，

设AC=xAE+yAF(x,y∈R)，则x+y的最大值是．



8(★★★)如图，在平面四边形ABCD中，∠CBA=∠CAD=90°，∠ACD=30°，AB=BC，点E在线段BC上，且BC=3BE，若AC=λAD+μAE(λ,μ∈R)，则μλ的值为．



【题型三】向量位置关系

【典题1】已知平面内三向量a=(2,1)，b=(－1,3)，c=(－2,2)，

(1)求满足a=mb+nc的实数m,n；

(2)若(2a+kc∥(b+c)，求实数k的值；

(3)若(2a+kc)⊥(b+c)，求实数k的值．











【典题2】设向量OA=(1,?2)，OB=(a,?1)，OC=(?b,0)，其中O为坐标原点，b>0，若A,B,C三点共线，则1a+2b的最小值为.









【典题3】已知向量a=(2，1)，b=(?1,m)，若a与b夹角为钝角，则m的取值范围是．











巩固练习

1(★★)已知两个向量a=(cosθ,sinθ),b=(3,?1)，则|2a?b|的最大值是( )

A．2B．22C．4D．42

2(★★)已知点A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以A、B、C、D为顶点的四边形是( )

A．梯形B．邻边不等的平行四边形

C．菱形D．两组对边均不平行的四边形

3(★★)已知P1(2,－1)，P2(0,5)且点P在P1P2的延长线上，|P1P|=2|PP2|，则点P的坐标为．

4(★★)已知a=(1,2+sinx)，b=(2,cosx)，c=(?1,2)，(a?c)∥b，则锐角x等于．

5(★★)已知向量a=(1,0)，b=(0,1...