平面向量的基本定理及坐标表示



知识点一平面向量的基本定理

1平面向量的基本定理

设e1，e2同一平面内的两个不共线向量，a是该平面内任一向量，则存在唯一实数对(λ，μ)，使a=λe1+μe2.

我们把{e1，e2}叫做表示这个平面内所有向量的一个基底.

如下图，a=OM+ON=λe1+μe2，其中λ=|OM||OA|，μ=|ON||OB|.

PS唯一性的解释

若e1，e2不共线，且λ1e1+μ1e2=λ2e1+μ2e2,则λ1=λ2,μ1=μ2.

2正交分解及其坐标表示

①正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解；



如上图，重力G分解成平行斜面的力F1和垂直于斜面的压力F2.

②向量的坐标表示

在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j为基底，则平面内的任一向量a可表示为a=xi+yj=(x,y)，(x,y)称为向量a的坐标，a=(x,y)叫做向量a的坐标表示.

向量a=(x,y)，就是以原点为起点，点(x,y)为终点的向量.

知识点二平面向量数乘运算与数量积的坐标表示

1坐标运算

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则

(1)向量的模a=x12+y12

(2)向量的加减法运算a+b=x1+x2,y1+y2，a?b=(x1?x2,y1?y2)

(3)若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB=(x2?x1,y2?y1)

(4)实数与向量的积λa=λ(x1,y1)=(λx1,λy1)

(5)数量积a?b=x1x2+y1y2

(6)夹角余弦值cos=a?b|a|b|=x1x2+y1y2x12+y12?x22+y22.

拓展定比分点

线段P1P2的端点P1、P2的坐标分别是(x1,y1)，(x2,y2)，点P是直线P1P2上的一点，

当P1P=λPP2时，点P的坐标是(x1+λx21+λ,y1+λy21+λ).



2平面向量位置关系

若a(x1,y1)，b(x2,y2)，

a∥b?x1y2=x2y1，

a⊥b?a?b=0?x1x2+y1y2=0.





【题型一】平面向量的基本定理的理解

【典题1】如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )

A．e1与e1+e2B．e1?2e2与e1+2e2

C．e1+e2→与e1?e2D．e1?2e2与?e1+2e2

【解析】e1，e2是平面内一组不共线的向量，作为基底的向量，前提为不共线向量，

所以对于选项ABC都为不共线向量，选项De1?2e2和?e1+2e2为共线向量．

故选D．



【典题2】已知方程ax2+bx+c=0，其中a，b，c是非零向量，且a,b不共线，则该方程( )

A．至多有一个解B．至少有一个解

C．至多有两个解D．可能有无数多个解

【解析】∵ax2+bx+c=0，∴c=?ax2?bx，

∵a，b不共线，故存在唯一一对实数λ,μ使，c=λa+μb

若λ满足λ=?μ2，则方程有一个解；λ不满足λ=?μ2，则方程无解；

所以至多一个解，故选A．

【点拨】本题考核对平面向量的基本定理中的”存在性、唯一性”的理解.



【题型二】平面向量的基本定理的运用

【典题1】已知在△ABC中，M,N分别是边AB,AC上的点，且AM=2MB，AN=3NC，BN与CM相交于点P,记a=AB，b=AC，用a，b表示AP的结果是( )

A．AP=13a+23bB．AP=12a+13bC．AP=25a+13bD．AP=13a+12b



【解析】由题意，可知AM=23AB,AN=34AC，

设BP=λBN，

则有AP=AB+BP=AB+λBN=AB+λAN?AB

=AB+λAN?λAB=(1?λ)AB+λ?34AC=(1?λ)a+34λb①

又设CP=μCM，

则有AP=AC+CP=AC+μCM=AC+μ(AM?AC)=AC+μAM?μAC

=(1?μ)AC+μ?23AB=23μa+(1?μ)b②

通过比较①②，可得关于λ,μ的二元一次方程组：1?λ=23μ34λ=1?μ，

解此二元一次方程组，得λ=23μ=12，

将结果带入①式，可得：AP=13a+12b，故选：D．

【点拨】

①这里给到的方法是以不共线向量a、b为基底，通过两个方式得到向量AP的表达式，即(1?λ)a+34λb=23μa+(1?μ)b，再由平面向量的基本定理求出AP.

②本题方法很多也可以用平行四边形法则求解.



【典题2】如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若AD=xAB+yAC，求x,y.



【解析】以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系(如图)．



令AB=2，则AB=(2,0),AC=(0,2)，

过D作DF⊥AB交AB的延长线为F，由已知得DE=BC=22，故DB=6，

则DF=BF=3，则AD=(2+3,3)．

∵AD=xAB+yAC，∴(2+3,3)=(2x,2y)．

即有x=1+32,y=32.

【点拨】

①本题也可以用平行四边形法则求解；

②这里讲解的方法是建系法，常见步骤如下

(1)找到合适的方式(一般是利用题中垂直关系等)建系；

(2)通过一些几何的知识点求出线段的长度，进而得到关键点的坐标；

(3)关键向量用坐标形式表示，比如本题中的AB=2,0，AD=(2+3,3)等；

(4)得到方程组求解(其实就是利用平面向量的基本定理的唯一性).

③当根据题意发现容易建系(比如有明显的垂直关系等)，可考虑建系法，它充分体现了“解析几何的优势”.





【典题3】在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AB=BC=2AD=2，E，F分别为BC，CD的中点，以A为圆心，AD为半径的半圆分别交BA及其延长线于点M，N，点P在MDN上运动(如图)．若AP=λAE+μBF，其中λ,μ∈R，则2λ?5μ的取值范围是.



【解析】建立如图所示的坐标系，



则A(0,0)，B(2,0)，D(0,1)，C(2,2)，E(2,1)，F(1,32)，

Pcosα,sinα(0≤α≤π)，(因为P在单位圆上，α为∠PAM)

由AP=λAE+μBF得cosα,sinα=λ2,1+μ?1,32=(2λ?μ,λ+32μ)

?cosα=2λ?μ,sinα=λ+32μ

?λ=38cosα+14sinα，μ=12sinα?14cosα

∴2λ?5μ=2(38cosα+14sinα)?5(12sinα?14cosα)

=?2sinα?cosα=?22sin(α?π4)

∵α?π4∈?π4,3π4∴?22sin(α?π4)∈[?22,2],

即2λ－5μ的取值范围是[－22，2]．

【点拨】利用建系法求解，点P在单位圆上，巧妙的设为P(cosα,sinα)，引入参数α，此处要注意0≤α≤π，则2λ－5μ是α的函数，求最值不难了.



巩固练习

1(★)下列各组向量中，可以作为基底的是( )

A．e1=(0,0),e2=(1,2)B．e1=(?1,2),e2=(5,7)

C．e1=(3,5),e2=(6,10)D．e1=(2...