6.4.1-6.4.2 平面向量的应用-新教材人教A版必修第二册练习(教师版) 人教版
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文件简介::
平面向量的应用
1平面几何中的向量方法
①由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.
②用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
Eg点A、B、C、D不在同一直线上
(1)证明直线平行或共线：AB//CD?AB//CD
(2)证明直线垂直：AB⊥CD?AB?CD=0
(3)求线段比值：ABCD=λ且AB//CD?AB=λCD
(4)证明线段相等：AB2=CD2?AB=CD
2向量在物理中的应用
①速度、力是向量，都可以转化为向量问题；
②力的合成与分解符合平行四边形法则.
【题型一】平面向量在几何中的应用
【典题1】证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
【证明】设四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AO=OC,BO=OD
∵AB=12AC+12DB,DC=12DB+12AC
∴AB=DC，即AB=DC且AB//DC
所以四边形ABCD是平行四边形
即对角线互相平分的四边形是平行四边形.
【点拨】
①证明四边形是平行四边形?AB=DC且AB//DC?AB=DC.
②证明几何中的平行和长度关系可以转化为向量的倍数关系.
【典题2】已知平行四边形ABCD的对角线为AC、BD，求证AC2+BD2=2(AB2+AD2)(即对角线的平方和等于邻边平方和的2倍).
【证明】由|AC2=AC2=AB+AD2=|AB2+|AD2+2AB?AD
|DB2=DB2=AB?AD2=|AB2+|AD2?2AB?AD
两式相加得|AC2+|DB2=2(|AB2+|AD2)
即AC2+BD2=2(AB2+AD2)
【点拨】利用|AB2=AB2可证明线段长度关系.
【典题3】用向量方法证明：三角形三条高线交于一点.
【证明】(分析设H是高线BE、CF的交点，再证明AH⊥BC，则三条高线就交于一点.)
设H是高线BE、CF的交点，
则有BH=AH?AB，CH=AH?AC，BC=AC?AB
∵BH⊥AC，CH⊥AB
∴AH?AB?AC=AH?AC?AB=0
化简得AH?AC?AB=0
∴AH?BC=0则AH⊥BC
(向量中证明AB⊥CD，只需要证明AB?CD=0)
所以三角形三条高线交于一点.
【典题4】证明三角形三条中线交于一点.
【证明】(分析设BE、AF交于O，证明C、O、D三点共线便可)
AF、CD、BE是三角形ABC的三条中线
设BE、AF交于点O，
∵点D是中点，∴CD=12(CA+CB)
连接EF，易证明?AOB~?FOE,且相似比是2：1，
∴BO=23BE,
∴CO=CB+BO=CB+23BE=CB+23BA+AE
=CB+23BC+CA+12AC=13(CA+CB)
∴CO=23CD即C、O、D三点共线，
(向量中证明三点A、B、C共线，只需证明AB=λAC)
∴AF、CD、BE交于一点，
即三角形三条中线交于一点.
巩固练习
1(★★)如图，E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，AB=1，CD=2，∠ABC=75°，∠BCD=45°，则线段EF的长是．
【答案】72
【解析】由图象，得EF→=EA→+AB→+BF→，EF→=ED→+DC→+CF→．
∵E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，
∴2EF→=(EA→+ED→)+(AB→+DC→)+(BF→+CF→)=AB→+DC→．
∵∠ABC=75°，∠BCD=45°，∴＜AB→，DC→＞=60°，
∴|EF|→=12(AB→+DC→)2=12AB→2+DC→2+2|AB|→?|DC|→cos＜AB→，DC→＞
=1212+22+2×1×2×12=72．
∴EF的长为72．
故答案为72．
2(★★)证明勾股定理，在Rt?ABC中，AC⊥BC，AC=b，BC=a,AB=c，则c2=a2+b2.
【证明】由AB=AC+CB，得AB2=AC+CB2=AC2+2AC?CB+CB2
即|AB2=|AC2+|CB2
故c2=a2+b2.
3(★★)用向量方法证明对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
【证明】如图平行四边形ABCD对角线AC、BD交于点O，
∵AB=AO+OB,BC=BO+OC
∴AB2=AO+OB2=AO2+2AO?OB+OB2=AO2+OB2
BC2=BO+OC2=BO2+2BO?OC+OC2=BO2+OC2
∴AB=BC
∴四边形ABCD是菱形.
4(★★)用向量方法证明设平面上A，B，C，D四点满足条件AD⊥BC，BD⊥AC，则AB⊥CD．
【证明】因AD⊥BC，所以AD→?BC→=AD→?(AC→?AB→)=0，
因BD⊥AC，所以AC→?BD→=AC→?(AD→?AB→)=0，
于是AD→?AC→=AD→?AB→，AC→?AD→=AC→?AB→，
所以AD→?AB→=AC→?AB→，(AD→?AC→)?AB→=0，
即CD→?AB→=0，所以CD→⊥AB→，即AB⊥CD．
5(★★)用向量方法证明对角线相等的平行四边形是矩形.
【证明】如图，平行四边形ABCD对角线AC、BD交于点O,
设OA=a，∵对角线相等∴OB=OD=a
∵AB=AO+OB,AD=AO+OD
∴AB?AD=AO+OBAO+OD=AO2+AO?OD+OB?AO+OB?OD
=a2+AOOD+OB?a2=0
∴AB⊥AD即AB⊥AD
∴四边形ABCD是矩形.
6(★★★)已知向量OP1→、OP2→、OP3→满足OP1→+OP2→+OP3→=0，|OP1→|=|OP2→|=|OP3→|=1．求证△P1P2P3是正三角形．
【证明】法一∵OP1→+OP2→+OP3→=0，∴OP1→+OP2→=?OP3→．∴|OP1→+OP2→|=|?OP3→|．
∴|OP1→|2+|OP2→|2+2OP1→OP2→=|OP3→|2．
又∵|OP1→|=|OP2→|=|OP3→|=1，∴OP1→OP2→=?12．
∴|OP1→||OP2→|cos∠P1OP2=?12，即∠P1OP2=120°．
同理∠P1OP3=∠P2OP3=120°．
∴△P1P2P3为等边三角形．
法二以O点为坐标原点建立直角坐标系，设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，
则OP1→=(x1，y1)，OP2→=(x2，y2)，OP3→=(x3，y3)．
由OP1→+OP2→+OP3→=0，
得x1+x2+x3=0y1+y2+y3=0.∴x1+x2=?x3y1+y2=?y3.，
由|OP1→|=|OP2→|=|OP3→|=1，得x12+y12=x22+y22=x32+y32=1
∴2+2(x1x2+y1y2)=1
∴|P1P2→|=(x1?x2)2+(y1?y2)2=x12+x22+y12+y22?2x1x2?2y1y2
=2(1?x1x2?y1y2)=3
同理|P1P3→|=3，|P2P3→|=3
∴△P1P2P3为正三角形
【题型...
1平面几何中的向量方法
①由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.
②用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
Eg点A、B、C、D不在同一直线上
(1)证明直线平行或共线：AB//CD?AB//CD
(2)证明直线垂直：AB⊥CD?AB?CD=0
(3)求线段比值：ABCD=λ且AB//CD?AB=λCD
(4)证明线段相等：AB2=CD2?AB=CD
2向量在物理中的应用
①速度、力是向量，都可以转化为向量问题；
②力的合成与分解符合平行四边形法则.
【题型一】平面向量在几何中的应用
【典题1】证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
【证明】设四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AO=OC,BO=OD
∵AB=12AC+12DB,DC=12DB+12AC
∴AB=DC，即AB=DC且AB//DC
所以四边形ABCD是平行四边形
即对角线互相平分的四边形是平行四边形.
【点拨】
①证明四边形是平行四边形?AB=DC且AB//DC?AB=DC.
②证明几何中的平行和长度关系可以转化为向量的倍数关系.
【典题2】已知平行四边形ABCD的对角线为AC、BD，求证AC2+BD2=2(AB2+AD2)(即对角线的平方和等于邻边平方和的2倍).
【证明】由|AC2=AC2=AB+AD2=|AB2+|AD2+2AB?AD
|DB2=DB2=AB?AD2=|AB2+|AD2?2AB?AD
两式相加得|AC2+|DB2=2(|AB2+|AD2)
即AC2+BD2=2(AB2+AD2)
【点拨】利用|AB2=AB2可证明线段长度关系.
【典题3】用向量方法证明：三角形三条高线交于一点.
【证明】(分析设H是高线BE、CF的交点，再证明AH⊥BC，则三条高线就交于一点.)
设H是高线BE、CF的交点，
则有BH=AH?AB，CH=AH?AC，BC=AC?AB
∵BH⊥AC，CH⊥AB
∴AH?AB?AC=AH?AC?AB=0
化简得AH?AC?AB=0
∴AH?BC=0则AH⊥BC
(向量中证明AB⊥CD，只需要证明AB?CD=0)
所以三角形三条高线交于一点.
【典题4】证明三角形三条中线交于一点.
【证明】(分析设BE、AF交于O，证明C、O、D三点共线便可)
AF、CD、BE是三角形ABC的三条中线
设BE、AF交于点O，
∵点D是中点，∴CD=12(CA+CB)
连接EF，易证明?AOB~?FOE,且相似比是2：1，
∴BO=23BE,
∴CO=CB+BO=CB+23BE=CB+23BA+AE
=CB+23BC+CA+12AC=13(CA+CB)
∴CO=23CD即C、O、D三点共线，
(向量中证明三点A、B、C共线，只需证明AB=λAC)
∴AF、CD、BE交于一点，
即三角形三条中线交于一点.
巩固练习
1(★★)如图，E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，AB=1，CD=2，∠ABC=75°，∠BCD=45°，则线段EF的长是．
【答案】72
【解析】由图象，得EF→=EA→+AB→+BF→，EF→=ED→+DC→+CF→．
∵E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，
∴2EF→=(EA→+ED→)+(AB→+DC→)+(BF→+CF→)=AB→+DC→．
∵∠ABC=75°，∠BCD=45°，∴＜AB→，DC→＞=60°，
∴|EF|→=12(AB→+DC→)2=12AB→2+DC→2+2|AB|→?|DC|→cos＜AB→，DC→＞
=1212+22+2×1×2×12=72．
∴EF的长为72．
故答案为72．
2(★★)证明勾股定理，在Rt?ABC中，AC⊥BC，AC=b，BC=a,AB=c，则c2=a2+b2.
【证明】由AB=AC+CB，得AB2=AC+CB2=AC2+2AC?CB+CB2
即|AB2=|AC2+|CB2
故c2=a2+b2.
3(★★)用向量方法证明对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
【证明】如图平行四边形ABCD对角线AC、BD交于点O，
∵AB=AO+OB,BC=BO+OC
∴AB2=AO+OB2=AO2+2AO?OB+OB2=AO2+OB2
BC2=BO+OC2=BO2+2BO?OC+OC2=BO2+OC2
∴AB=BC
∴四边形ABCD是菱形.
4(★★)用向量方法证明设平面上A，B，C，D四点满足条件AD⊥BC，BD⊥AC，则AB⊥CD．
【证明】因AD⊥BC，所以AD→?BC→=AD→?(AC→?AB→)=0，
因BD⊥AC，所以AC→?BD→=AC→?(AD→?AB→)=0，
于是AD→?AC→=AD→?AB→，AC→?AD→=AC→?AB→，
所以AD→?AB→=AC→?AB→，(AD→?AC→)?AB→=0，
即CD→?AB→=0，所以CD→⊥AB→，即AB⊥CD．
5(★★)用向量方法证明对角线相等的平行四边形是矩形.
【证明】如图，平行四边形ABCD对角线AC、BD交于点O,
设OA=a，∵对角线相等∴OB=OD=a
∵AB=AO+OB,AD=AO+OD
∴AB?AD=AO+OBAO+OD=AO2+AO?OD+OB?AO+OB?OD
=a2+AOOD+OB?a2=0
∴AB⊥AD即AB⊥AD
∴四边形ABCD是矩形.
6(★★★)已知向量OP1→、OP2→、OP3→满足OP1→+OP2→+OP3→=0，|OP1→|=|OP2→|=|OP3→|=1．求证△P1P2P3是正三角形．
【证明】法一∵OP1→+OP2→+OP3→=0，∴OP1→+OP2→=?OP3→．∴|OP1→+OP2→|=|?OP3→|．
∴|OP1→|2+|OP2→|2+2OP1→OP2→=|OP3→|2．
又∵|OP1→|=|OP2→|=|OP3→|=1，∴OP1→OP2→=?12．
∴|OP1→||OP2→|cos∠P1OP2=?12，即∠P1OP2=120°．
同理∠P1OP3=∠P2OP3=120°．
∴△P1P2P3为等边三角形．
法二以O点为坐标原点建立直角坐标系，设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，
则OP1→=(x1，y1)，OP2→=(x2，y2)，OP3→=(x3，y3)．
由OP1→+OP2→+OP3→=0，
得x1+x2+x3=0y1+y2+y3=0.∴x1+x2=?x3y1+y2=?y3.，
由|OP1→|=|OP2→|=|OP3→|=1，得x12+y12=x22+y22=x32+y32=1
∴2+2(x1x2+y1y2)=1
∴|P1P2→|=(x1?x2)2+(y1?y2)2=x12+x22+y12+y22?2x1x2?2y1y2
=2(1?x1x2?y1y2)=3
同理|P1P3→|=3，|P2P3→|=3
∴△P1P2P3为正三角形
【题型...
