6.4.1-6.4.2 平面向量的应用-新教材人教A版必修第二册练习(学生版) 人教版
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文件简介::
平面向量的应用
1平面几何中的向量方法
①由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.
②用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
Eg点A、B、C、D不在同一直线上
(1)证明直线平行或共线：AB//CD?AB//CD
(2)证明直线垂直：AB⊥CD?AB?CD=0
(3)求线段比值：ABCD=λ且AB//CD?AB=λCD
(4)证明线段相等：AB2=CD2?AB=CD
2向量在物理中的应用
①速度、力是向量，都可以转化为向量问题；
②力的合成与分解符合平行四边形法则.
【题型一】平面向量在几何中的应用
【典题1】证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
【典题2】已知平行四边形ABCD的对角线为AC、BD，求证AC2+BD2=2(AB2+AD2)(即对角线的平方和等于邻边平方和的2倍).
【典题3】用向量方法证明：三角形三条高线交于一点.
【典题4】证明三角形三条中线交于一点.
巩固练习
1(★★)如图，E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，AB=1，CD=2，∠ABC=75°，∠BCD=45°，则线段EF的长是．
2(★★)证明勾股定理，在Rt?ABC中，AC⊥BC，AC=b，BC=a,AB=c，则c2=a2+b2.
3(★★)用向量方法证明对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
4(★★)用向量方法证明设平面上A，B，C，D四点满足条件AD⊥BC，BD⊥AC，则AB⊥CD．
5(★★)用向量方法证明对角线相等的平行四边形是矩形.
6(★★★)已知向量OP1→、OP2→、OP3→满足OP1→+OP2→+OP3→=0，|OP1→|=|OP2→|=|OP3→|=1．求证△P1P2P3是正三角形．
【题型二】平面向量在物理中的应用
【典题1】如图，已知河水自西向东流速为|v0|=1m/s，设某人在静水中游泳的速度为v1，在流水中实际速度为v2．
(1)若此人朝正南方向游去，且|v1|=3m/s，求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v2的大小；
(2)若此人实际前进方向与水流垂直，且|v2|=3m/s，求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v1的大小．
【典题2】在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为F1，F2，且|F1|=|F2|，F1与F2的夹角为θ．给出以下结论
①θ越大越费力，θ越小越省力；②θ的范围为[0,π]；
③当θ=π2时，|F1|=|G|；④当θ=2π3时，|F1|=|G|．
其中正确结论的序号是．
【典题3】如图，重为10N的匀质球，半径R为6cm，放在墙与均匀的AB木板之间，A端锁定并能转动，B端用水平绳索BC拉住，板长AB=20cm，与墙夹角为α，如果不计木板的重量，则α为何值时，绳子拉力最小？最小值是多少？
巩固练习
1(★★)一条渔船以6km/?的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/?，则这条渔船实际航行的速度大小为．
2(★★)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F1,F2，且F1,F2与水平夹角均为45°，|F1|=|F2|=102N，则物体的重力大小为．
3(★★)已知一艘船以5km/?的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．
4(★★)一个物体受到同一平面内三个力F1、F2、F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m．已知|F1|=2N，方向为北偏东30°；|F2|=4N，方向为东偏北30°；|F3|=6N，方向为西偏北60°，求这三个力的合力F所做的功．
1平面几何中的向量方法
①由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.
②用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
Eg点A、B、C、D不在同一直线上
(1)证明直线平行或共线：AB//CD?AB//CD
(2)证明直线垂直：AB⊥CD?AB?CD=0
(3)求线段比值：ABCD=λ且AB//CD?AB=λCD
(4)证明线段相等：AB2=CD2?AB=CD
2向量在物理中的应用
①速度、力是向量，都可以转化为向量问题；
②力的合成与分解符合平行四边形法则.
【题型一】平面向量在几何中的应用
【典题1】证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
【典题2】已知平行四边形ABCD的对角线为AC、BD，求证AC2+BD2=2(AB2+AD2)(即对角线的平方和等于邻边平方和的2倍).
【典题3】用向量方法证明：三角形三条高线交于一点.
【典题4】证明三角形三条中线交于一点.
巩固练习
1(★★)如图，E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，AB=1，CD=2，∠ABC=75°，∠BCD=45°，则线段EF的长是．
2(★★)证明勾股定理，在Rt?ABC中，AC⊥BC，AC=b，BC=a,AB=c，则c2=a2+b2.
3(★★)用向量方法证明对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
4(★★)用向量方法证明设平面上A，B，C，D四点满足条件AD⊥BC，BD⊥AC，则AB⊥CD．
5(★★)用向量方法证明对角线相等的平行四边形是矩形.
6(★★★)已知向量OP1→、OP2→、OP3→满足OP1→+OP2→+OP3→=0，|OP1→|=|OP2→|=|OP3→|=1．求证△P1P2P3是正三角形．
【题型二】平面向量在物理中的应用
【典题1】如图，已知河水自西向东流速为|v0|=1m/s，设某人在静水中游泳的速度为v1，在流水中实际速度为v2．
(1)若此人朝正南方向游去，且|v1|=3m/s，求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v2的大小；
(2)若此人实际前进方向与水流垂直，且|v2|=3m/s，求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v1的大小．
【典题2】在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为F1，F2，且|F1|=|F2|，F1与F2的夹角为θ．给出以下结论
①θ越大越费力，θ越小越省力；②θ的范围为[0,π]；
③当θ=π2时，|F1|=|G|；④当θ=2π3时，|F1|=|G|．
其中正确结论的序号是．
【典题3】如图，重为10N的匀质球，半径R为6cm，放在墙与均匀的AB木板之间，A端锁定并能转动，B端用水平绳索BC拉住，板长AB=20cm，与墙夹角为α，如果不计木板的重量，则α为何值时，绳子拉力最小？最小值是多少？
巩固练习
1(★★)一条渔船以6km/?的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/?，则这条渔船实际航行的速度大小为．
2(★★)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F1,F2，且F1,F2与水平夹角均为45°，|F1|=|F2|=102N，则物体的重力大小为．
3(★★)已知一艘船以5km/?的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．
4(★★)一个物体受到同一平面内三个力F1、F2、F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m．已知|F1|=2N，方向为北偏东30°；|F2|=4N，方向为东偏北30°；|F3|=6N，方向为西偏北60°，求这三个力的合力F所做的功．
