6.4.3 余弦定理、正弦定理1-新教材人教A版必修第二册练习(学生版) 人教版
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文件简介::
余弦定理、正弦定理1
1正弦定理
①正弦定理
asinA=bsinB=csinC=2R(其中R是三角形外接圆半径)
②变形
(1)a+b+csinA+sinB+sinC=asinA=bsinB=csinC
(2)化边为角
a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
a:b:c=sinA:sinB:sinC,
ab=sinAsinB,bc=sinBsinC,ac=sinAsinC
(3)化角为边
sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2RsinAsinB=ab,sinBsinC=bc,sinAsinC=ac
理由
a?sinB+c?sinC=b?sinC
a?b2R+c?c2R=b?c2R
a?b+c?c=b?c
有角有边的等式
化为
只含边的等式
a?sinB+c?sinC=b?sinC（*）
a?b+c?c=b?c
理由
a?sinB+c?sinC=b?sinC
a?b2R+c?c2R=b?c2R
a?b+c?c=b?c
有角有边的等式
化为
只含边的等式
a?sinB+c?sinC=b?sinC（*）
a?b+c?c=b?c
③正弦定理的“齐次角边互换”
等式(?)中含有三个式子(a?sinB、c?sinC、b?sinC)，每个式子中都有一个sin值，并且它们的次数都是1，则可以把sinB、sinC直接转化为对应的边b、c！
同理a?sinB+c?sinC=b?sinC?sinA?sinB+sinC?sinC=sinB?sinC.
思考以下转化是否正确
(1)a?sinB+c?sinC=b?a?b+c?c=b(错)，
(2)sinA?sinB+sinB?sinC=sin2A?a?b+b?c=a2(对)
④利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题
(1)已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；
Eg在△ABC，内角A,B,C所对的边分别是a，b，c，B=30°，A=45°，b=2，则边a=.
(2)已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边.
Eg在△ABC，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,A=60°,c=2，a=3，则角C=.
(三角形中有一组对边和对角就可考虑正弦定理)
⑤三角形解的个数问题
已知两边a、b和其中一边的对角A，不能确定三角形的形状，此时三角形解可能是无解、一解、两解，要分类讨论.
A是锐角
A是直角或钝角
a≥b
ab，且A为锐角，∴B有一解，故三角形只有一解；
方法2图像法
先做出角∠CAB=60°,过点C作CD⊥BC,此时可知CD=23π2?cosA=b2+c2?a22bc0?b2+c2>a2.
⑤射影定理
a=c?cosB+b?cosC
b=a?cosC+c?cosA
c=b?cosA+a?cosB
【题型一】正弦定理、余弦定理解单个三角形
【典题1】在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a=2，b=22，且三角形有两解，则角A的取值范围是.
【典题2】在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且面积为S，若bcosC+ccosB=2acosA，S=14(b2+a2?c2)，则角B等于.
【典题3】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，∠C=π3，且sinC+sinB?A?2sin2A=0，则下列选项不一定成立的是( )
A．b=2aB．△ABC的周长为2+23
C．△ABC的面积为233D．△ABC的外接圆半径为233
巩固练习
1(★)在△ABC中，AB=2，BC=3，A=60°，则角C的值为．
2(★)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=3，A=30°，b=33，则c值为．
3(★)在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=2:7:3，则△ABC的最大内角与最小内角的和为．
4(★)【多选题】已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，根据下列条件解三角形，有两解的是( )
A．a=2,b=2,B=120°B．a=2,b=3,B=45°
C．b=3,c=3,B=60°D．a=23,b=10,B=60°
5(★★)【多选题】下列命题中，正确的是( )
A．在△ABC中，A>B，则sinA>sinB
B．在锐角△ABC中，不等式sinA>cosB恒成立
C．在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC必是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B=60°，b2=ac，则△ABC必是等边三角形
6(★★)【多选题】在△ABC中，已知a+b:(c+a):(b+c)=6:5:4，给出下列结论中正确结论是( )
A．由已知条件，这个三角形被唯一确定B．△ABC一定是钝三角形
C．sinA:sinB:sinC=7:5:3D．若b+c=8，则△ABC的面积是1532
7(★★)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+c2?b2+2bccosA?2c=0，c?cosA=b(1?cosC)，且C=2π3，则c=；△ABC的面积S=．
8(★★★)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且asin(A+B)=csinB+C2．
(1)求A；(2)若△ABC的面积为3，周长为8，求a．
【题型二】多个三角形问题
【典题1】在△ABC中，D是AB边上一点，AD=2DB，DC⊥AC，DC=3,BC=7，
则AB=．
【典题2】在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是．
【典题3】如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=4，点P为△ABC内一点，
且tan∠PAB=13，tan∠PBA=12．
(1)求∠APB；(2)求PC．
巩固练习
1(★★)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2b，△ABC的面积为4sin∠ACB，AB边上的中线CD长为6，则△ABC的周长为．
2(★★)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知c=2，b=1，cosC=14．则△ABC的中线AD的长为．
3(★★)已知△ABC中，AB=3，BC=5，D为线段AC上一点，AB⊥BD，ADCD=34，则AC=，△ABC的面积是．
4(★★★)在△ABC中，∠C=90°，M是BC边上一点，且满足CM=2MB，若sin∠BAM=15，
则sin∠BAC=．
5(★★★)已知圆内接四边形ABCD，其中AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，则2sinA+2sinB=．
6(★★★)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，M为AD上一点，AM=2MD=2，∠BMC=60°．
(1)若△MCD为等腰三角形，求BC；(2)设∠DCM=θ，若MB=4MC，求tanθ．...
1正弦定理
①正弦定理
asinA=bsinB=csinC=2R(其中R是三角形外接圆半径)
②变形
(1)a+b+csinA+sinB+sinC=asinA=bsinB=csinC
(2)化边为角
a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
a:b:c=sinA:sinB:sinC,
ab=sinAsinB,bc=sinBsinC,ac=sinAsinC
(3)化角为边
sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2RsinAsinB=ab,sinBsinC=bc,sinAsinC=ac
理由
a?sinB+c?sinC=b?sinC
a?b2R+c?c2R=b?c2R
a?b+c?c=b?c
有角有边的等式
化为
只含边的等式
a?sinB+c?sinC=b?sinC（*）
a?b+c?c=b?c
理由
a?sinB+c?sinC=b?sinC
a?b2R+c?c2R=b?c2R
a?b+c?c=b?c
有角有边的等式
化为
只含边的等式
a?sinB+c?sinC=b?sinC（*）
a?b+c?c=b?c
③正弦定理的“齐次角边互换”
等式(?)中含有三个式子(a?sinB、c?sinC、b?sinC)，每个式子中都有一个sin值，并且它们的次数都是1，则可以把sinB、sinC直接转化为对应的边b、c！
同理a?sinB+c?sinC=b?sinC?sinA?sinB+sinC?sinC=sinB?sinC.
思考以下转化是否正确
(1)a?sinB+c?sinC=b?a?b+c?c=b(错)，
(2)sinA?sinB+sinB?sinC=sin2A?a?b+b?c=a2(对)
④利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题
(1)已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；
Eg在△ABC，内角A,B,C所对的边分别是a，b，c，B=30°，A=45°，b=2，则边a=.
(2)已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边.
Eg在△ABC，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,A=60°,c=2，a=3，则角C=.
(三角形中有一组对边和对角就可考虑正弦定理)
⑤三角形解的个数问题
已知两边a、b和其中一边的对角A，不能确定三角形的形状，此时三角形解可能是无解、一解、两解，要分类讨论.
A是锐角
A是直角或钝角
a≥b
ab，且A为锐角，∴B有一解，故三角形只有一解；
方法2图像法
先做出角∠CAB=60°,过点C作CD⊥BC,此时可知CD=23π2?cosA=b2+c2?a22bc0?b2+c2>a2.
⑤射影定理
a=c?cosB+b?cosC
b=a?cosC+c?cosA
c=b?cosA+a?cosB
【题型一】正弦定理、余弦定理解单个三角形
【典题1】在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a=2，b=22，且三角形有两解，则角A的取值范围是.
【典题2】在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且面积为S，若bcosC+ccosB=2acosA，S=14(b2+a2?c2)，则角B等于.
【典题3】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，∠C=π3，且sinC+sinB?A?2sin2A=0，则下列选项不一定成立的是( )
A．b=2aB．△ABC的周长为2+23
C．△ABC的面积为233D．△ABC的外接圆半径为233
巩固练习
1(★)在△ABC中，AB=2，BC=3，A=60°，则角C的值为．
2(★)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=3，A=30°，b=33，则c值为．
3(★)在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=2:7:3，则△ABC的最大内角与最小内角的和为．
4(★)【多选题】已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，根据下列条件解三角形，有两解的是( )
A．a=2,b=2,B=120°B．a=2,b=3,B=45°
C．b=3,c=3,B=60°D．a=23,b=10,B=60°
5(★★)【多选题】下列命题中，正确的是( )
A．在△ABC中，A>B，则sinA>sinB
B．在锐角△ABC中，不等式sinA>cosB恒成立
C．在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC必是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B=60°，b2=ac，则△ABC必是等边三角形
6(★★)【多选题】在△ABC中，已知a+b:(c+a):(b+c)=6:5:4，给出下列结论中正确结论是( )
A．由已知条件，这个三角形被唯一确定B．△ABC一定是钝三角形
C．sinA:sinB:sinC=7:5:3D．若b+c=8，则△ABC的面积是1532
7(★★)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+c2?b2+2bccosA?2c=0，c?cosA=b(1?cosC)，且C=2π3，则c=；△ABC的面积S=．
8(★★★)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且asin(A+B)=csinB+C2．
(1)求A；(2)若△ABC的面积为3，周长为8，求a．
【题型二】多个三角形问题
【典题1】在△ABC中，D是AB边上一点，AD=2DB，DC⊥AC，DC=3,BC=7，
则AB=．
【典题2】在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是．
【典题3】如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=4，点P为△ABC内一点，
且tan∠PAB=13，tan∠PBA=12．
(1)求∠APB；(2)求PC．
巩固练习
1(★★)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2b，△ABC的面积为4sin∠ACB，AB边上的中线CD长为6，则△ABC的周长为．
2(★★)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知c=2，b=1，cosC=14．则△ABC的中线AD的长为．
3(★★)已知△ABC中，AB=3，BC=5，D为线段AC上一点，AB⊥BD，ADCD=34，则AC=，△ABC的面积是．
4(★★★)在△ABC中，∠C=90°，M是BC边上一点，且满足CM=2MB，若sin∠BAM=15，
则sin∠BAC=．
5(★★★)已知圆内接四边形ABCD，其中AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，则2sinA+2sinB=．
6(★★★)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，M为AD上一点，AM=2MD=2，∠BMC=60°．
(1)若△MCD为等腰三角形，求BC；(2)设∠DCM=θ，若MB=4MC，求tanθ．...
