6.4.3 余弦定理、正弦定理1-新教材人教A版必修第二册练习(教师版) 人教版
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文件简介::
余弦定理、正弦定理1
1正弦定理
①正弦定理
asinA=bsinB=csinC=2R(其中R是三角形外接圆半径)
②变形
(1)a+b+csinA+sinB+sinC=asinA=bsinB=csinC
(2)化边为角
a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
a:b:c=sinA:sinB:sinC,
ab=sinAsinB,bc=sinBsinC,ac=sinAsinC
(3)化角为边
sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2RsinAsinB=ab,sinBsinC=bc,sinAsinC=ac
理由
a?sinB+c?sinC=b?sinC
a?b2R+c?c2R=b?c2R
a?b+c?c=b?c
有角有边的等式
化为
只含边的等式
a?sinB+c?sinC=b?sinC（*）
a?b+c?c=b?c
理由
a?sinB+c?sinC=b?sinC
a?b2R+c?c2R=b?c2R
a?b+c?c=b?c
有角有边的等式
化为
只含边的等式
a?sinB+c?sinC=b?sinC（*）
a?b+c?c=b?c
③正弦定理的“齐次角边互换”
等式(?)中含有三个式子(a?sinB、c?sinC、b?sinC)，每个式子中都有一个sin值，并且它们的次数都是1，则可以把sinB、sinC直接转化为对应的边b、c！
同理a?sinB+c?sinC=b?sinC?sinA?sinB+sinC?sinC=sinB?sinC.
思考以下转化是否正确
(1)a?sinB+c?sinC=b?a?b+c?c=b(错)，
(2)sinA?sinB+sinB?sinC=sin2A?a?b+b?c=a2(对)
④利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题
(1)已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；
Eg在△ABC，内角A,B,C所对的边分别是a，b，c，B=30°，A=45°，b=2，则边a=.
(2)已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边.
Eg在△ABC，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,A=60°,c=2，a=3，则角C=.
(三角形中有一组对边和对角就可考虑正弦定理)
⑤三角形解的个数问题
已知两边a、b和其中一边的对角A，不能确定三角形的形状，此时三角形解可能是无解、一解、两解，要分类讨论.
A是锐角
A是直角或钝角
a≥b
ab，且A为锐角，∴B有一解，故三角形只有一解；
方法2图像法
先做出角∠CAB=60°,过点C作CD⊥BC,此时可知CD=23π2?cosA=b2+c2?a22bc0?b2+c2>a2.
⑤射影定理
a=c?cosB+b?cosC
b=a?cosC+c?cosA
c=b?cosA+a?cosB
【题型一】正弦定理、余弦定理解单个三角形
【典题1】在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a=2，b=22，且三角形有两解，则角A的取值范围是.
【解析】方法1∵ab，且A∈(0，π)，所以A有个值，三角形有两解；
对于C，b=3，c=3，B=60°，由正弦定理得3sin60°=3sinC，解得sinC=12，
由b>c，所以B>C，所以C=30°，三角形只有一解；
对于D，a=23，b=10，B=60°，由正弦定理得23sinA=10sin60°，解得sinA=310，
又b60°，所以A有两个值，三角形有两解．
故选：BD．
5(★★)【多选题】下列命题中，正确的是( )
A．在△ABC中，A>B，则sinA>sinB
B．在锐角△ABC中，不等式sinA>cosB恒成立
C．在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC必是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B=60°，b2=ac，则△ABC必是等边三角形
【答案】ABD
【解析】对于A，由A>B，可得：a>b，利用正弦定理可得：sinA>sinB，正确；
对于B，在锐角△ABC中，A，B∈(0，π2)，
∵A+B>π2，∴π2>A>π2?B>0，∴sinA>sin(π2?B)=cosB，
因此不等式sinA>cosB恒成立，正确
对于C，在△ABC中，由acosA=bcosB，利用正弦定理可得：sinAcosA=sinBcosB，
∴sin2A=sin2B，
∵A，B∈(0，π)，∴2A=2B或2A=2π－2B，
∴A=B或A+B=π2，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C错误．
对于D，由于B=60°，b2=ac，
由余弦定理可得：b2=ac=a2+c2－ac，可得a－c2=0，
解得a=c，可得A=C=B=60°，故正确．
故选：ABD．
6(★★)【多选题】在△ABC中，已知a+b:(c+a):(b+c)=6:5:4，给出下列结论中正确结论是( )
A．由已知条件，这个三角形被唯一确定B．△ABC一定是钝三角形
C．sinA:sinB:sinC=7:5:3D．若b+c=8，则△ABC的面积是1532
【答案】BC
【解析】∵(a+b):(c+a):(b+c)=6:5:4，
∴设a+b=6k，c+a=5k，b+c=4k，(k>0)，
得a=72k，b=52k，c=32k，
则a:b:c=7:5:3，
则sinA:sinB:sinC=7:5:3，故C正确，
由于三角形ABC的边长不确定，则三角形不确定，故A错误，
cosA=b2+c2?a22bc=254k2+94k2?494k22×52×32k2=?120，∴0＜x＜4，
∵BE=CE∴AB=6+24x+m?22x=6+2?22x，
∴AB的取值范围是(6?2，6+2)．
方法2尺规作图法
如下图，作出底边BC=2的等腰三角形EBC,B=C=75°，
与AB形成75°夹角的直线(图中虚线)在平面内移动，
分别交EB、EC于A、D，
则四边形ABCD即为满足题意的四边形；
当直线移动时，运用极限思想，
①直线接近点C时，AB趋近最小值，为6?2；
②直线接近点E时，AB趋近最大值，为6+2；
∴AB的取值范围是(6?2，6+2)．
【点拨】方法1通过辅助线得到两个三角形，引入变量再解三角形，有些复杂；
那方法2是怎么想到的呢？
下面我们试试运用“构图法”找思路
①先思考满足“∠A=∠B=∠C=75°．BC=2”的四边形是否确定了呢？肯定不是，要不出题者让你求AB长度了.我们试试“尺规作图”，如图一，先画出线段BC=2，再作角∠B=∠C=75°，那接着作∠A=75°，没其他条件限制，点A的位置无法确定，它可以移动；
②当点A在射线BF上移动，如图二，易知A在线段BA1上或在线段BE外是无法得到点D构造出四边形ABCD，故BA1
③在△BA1C和△BCE中利用正弦定理求出BA1=6?2,BE=6+2，利用极限的位置就得到6?2
这方法在几何中很常用，可确定题中哪些量是变量哪些是不变量，更便于寻找解题思路.
1正弦定理
①正弦定理
asinA=bsinB=csinC=2R(其中R是三角形外接圆半径)
②变形
(1)a+b+csinA+sinB+sinC=asinA=bsinB=csinC
(2)化边为角
a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
a:b:c=sinA:sinB:sinC,
ab=sinAsinB,bc=sinBsinC,ac=sinAsinC
(3)化角为边
sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2RsinAsinB=ab,sinBsinC=bc,sinAsinC=ac
理由
a?sinB+c?sinC=b?sinC
a?b2R+c?c2R=b?c2R
a?b+c?c=b?c
有角有边的等式
化为
只含边的等式
a?sinB+c?sinC=b?sinC（*）
a?b+c?c=b?c
理由
a?sinB+c?sinC=b?sinC
a?b2R+c?c2R=b?c2R
a?b+c?c=b?c
有角有边的等式
化为
只含边的等式
a?sinB+c?sinC=b?sinC（*）
a?b+c?c=b?c
③正弦定理的“齐次角边互换”
等式(?)中含有三个式子(a?sinB、c?sinC、b?sinC)，每个式子中都有一个sin值，并且它们的次数都是1，则可以把sinB、sinC直接转化为对应的边b、c！
同理a?sinB+c?sinC=b?sinC?sinA?sinB+sinC?sinC=sinB?sinC.
思考以下转化是否正确
(1)a?sinB+c?sinC=b?a?b+c?c=b(错)，
(2)sinA?sinB+sinB?sinC=sin2A?a?b+b?c=a2(对)
④利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题
(1)已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；
Eg在△ABC，内角A,B,C所对的边分别是a，b，c，B=30°，A=45°，b=2，则边a=.
(2)已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边.
Eg在△ABC，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,A=60°,c=2，a=3，则角C=.
(三角形中有一组对边和对角就可考虑正弦定理)
⑤三角形解的个数问题
已知两边a、b和其中一边的对角A，不能确定三角形的形状，此时三角形解可能是无解、一解、两解，要分类讨论.
A是锐角
A是直角或钝角
a≥b
ab，且A为锐角，∴B有一解，故三角形只有一解；
方法2图像法
先做出角∠CAB=60°,过点C作CD⊥BC,此时可知CD=23π2?cosA=b2+c2?a22bc0?b2+c2>a2.
⑤射影定理
a=c?cosB+b?cosC
b=a?cosC+c?cosA
c=b?cosA+a?cosB
【题型一】正弦定理、余弦定理解单个三角形
【典题1】在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a=2，b=22，且三角形有两解，则角A的取值范围是.
【解析】方法1∵ab，且A∈(0，π)，所以A有个值，三角形有两解；
对于C，b=3，c=3，B=60°，由正弦定理得3sin60°=3sinC，解得sinC=12，
由b>c，所以B>C，所以C=30°，三角形只有一解；
对于D，a=23，b=10，B=60°，由正弦定理得23sinA=10sin60°，解得sinA=310，
又b60°，所以A有两个值，三角形有两解．
故选：BD．
5(★★)【多选题】下列命题中，正确的是( )
A．在△ABC中，A>B，则sinA>sinB
B．在锐角△ABC中，不等式sinA>cosB恒成立
C．在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC必是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B=60°，b2=ac，则△ABC必是等边三角形
【答案】ABD
【解析】对于A，由A>B，可得：a>b，利用正弦定理可得：sinA>sinB，正确；
对于B，在锐角△ABC中，A，B∈(0，π2)，
∵A+B>π2，∴π2>A>π2?B>0，∴sinA>sin(π2?B)=cosB，
因此不等式sinA>cosB恒成立，正确
对于C，在△ABC中，由acosA=bcosB，利用正弦定理可得：sinAcosA=sinBcosB，
∴sin2A=sin2B，
∵A，B∈(0，π)，∴2A=2B或2A=2π－2B，
∴A=B或A+B=π2，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C错误．
对于D，由于B=60°，b2=ac，
由余弦定理可得：b2=ac=a2+c2－ac，可得a－c2=0，
解得a=c，可得A=C=B=60°，故正确．
故选：ABD．
6(★★)【多选题】在△ABC中，已知a+b:(c+a):(b+c)=6:5:4，给出下列结论中正确结论是( )
A．由已知条件，这个三角形被唯一确定B．△ABC一定是钝三角形
C．sinA:sinB:sinC=7:5:3D．若b+c=8，则△ABC的面积是1532
【答案】BC
【解析】∵(a+b):(c+a):(b+c)=6:5:4，
∴设a+b=6k，c+a=5k，b+c=4k，(k>0)，
得a=72k，b=52k，c=32k，
则a:b:c=7:5:3，
则sinA:sinB:sinC=7:5:3，故C正确，
由于三角形ABC的边长不确定，则三角形不确定，故A错误，
cosA=b2+c2?a22bc=254k2+94k2?494k22×52×32k2=?120，∴0＜x＜4，
∵BE=CE∴AB=6+24x+m?22x=6+2?22x，
∴AB的取值范围是(6?2，6+2)．
方法2尺规作图法
如下图，作出底边BC=2的等腰三角形EBC,B=C=75°，
与AB形成75°夹角的直线(图中虚线)在平面内移动，
分别交EB、EC于A、D，
则四边形ABCD即为满足题意的四边形；
当直线移动时，运用极限思想，
①直线接近点C时，AB趋近最小值，为6?2；
②直线接近点E时，AB趋近最大值，为6+2；
∴AB的取值范围是(6?2，6+2)．
【点拨】方法1通过辅助线得到两个三角形，引入变量再解三角形，有些复杂；
那方法2是怎么想到的呢？
下面我们试试运用“构图法”找思路
①先思考满足“∠A=∠B=∠C=75°．BC=2”的四边形是否确定了呢？肯定不是，要不出题者让你求AB长度了.我们试试“尺规作图”，如图一，先画出线段BC=2，再作角∠B=∠C=75°，那接着作∠A=75°，没其他条件限制，点A的位置无法确定，它可以移动；
②当点A在射线BF上移动，如图二，易知A在线段BA1上或在线段BE外是无法得到点D构造出四边形ABCD，故BA1
③在△BA1C和△BCE中利用正弦定理求出BA1=6?2,BE=6+2，利用极限的位置就得到6?2
这方法在几何中很常用，可确定题中哪些量是变量哪些是不变量，更便于寻找解题思路.