6.4.3 余弦定理、正弦定理2-新教材人教A版必修第二册练习(学生版) 人教版
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文件简介::
余弦定理、正弦定理2
1正弦定理
①正弦定理
asinA=bsinB=csinC=2R(其中R是三角形外接圆半径)
②变形
(1)a+b+csinA+sinB+sinC=asinA=bsinB=csinC
(2)化边为角
a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
a:b:c=sinA:sinB:sinC,
ab=sinAsinB,bc=sinBsinC,ac=sinAsinC
(3)化角为边
sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2RsinAsinB=ab,sinBsinC=bc,sinAsinC=ac
理由
a?sinB+c?sinC=b?sinC
a?b2R+c?c2R=b?c2R
a?b+c?c=b?c
有角有边的等式
化为
只含边的等式
a?sinB+c?sinC=b?sinC（*）
a?b+c?c=b?c
理由
a?sinB+c?sinC=b?sinC
a?b2R+c?c2R=b?c2R
a?b+c?c=b?c
有角有边的等式
化为
只含边的等式
a?sinB+c?sinC=b?sinC（*）
a?b+c?c=b?c
③正弦定理的“齐次角边互换”
等式(?)中含有三个式子(a?sinB、c?sinC、b?sinC)，每个式子中都有一个sin值，并且它们的次数都是1，则可以把sinB、sinC直接转化为对应的边b、c！
同理a?sinB+c?sinC=b?sinC?sinA?sinB+sinC?sinC=sinB?sinC.
思考以下转化是否正确
(1)a?sinB+c?sinC=b?a?b+c?c=b(错)，
(2)sinA?sinB+sinB?sinC=sin2A?a?b+b?c=a2(对)
④利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题
(1)已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；
Eg在△ABC，内角A,B,C所对的边分别是a，b，c，B=30°，A=45°，b=2，则边a=.
(2)已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边.
Eg在△ABC，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,A=60°,c=2，a=3，则角C=.
(三角形中有一组对边和对角就可考虑正弦定理)
⑤三角形解的个数问题
已知两边a、b和其中一边的对角A，不能确定三角形的形状，此时三角形解可能是无解、一解、两解，要分类讨论.
A是锐角
A是直角或钝角
a≥b
ab，且A为锐角，∴B有一解，故三角形只有一解；
方法2图像法
先做出角∠CAB=60°,过点C作CD⊥BC,此时可知CD=23π2?cosA=b2+c2?a22bc0?b2+c2>a2.
⑤射影定理
a=c?cosB+b?cosC
b=a?cosC+c?cosA
c=b?cosA+a?cosB
【题型一】三角形最值问题
【典题1】锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知2asinC=3c，a=1，则△ABC周长的范围为.
【典题2】边长为1的正方形ABCD的边BC上有一点P，边CD上有一点Q，满足△CPQ的周长为2．
(1)求∠QAP的大小；(2)求△APQ面积的最小值．
巩固练习
1(★★)设锐角△ABC的三内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且b=2，A=2B，则a的取值范围为．
2(★★★)在△ABC中，∠B=60°，b=3，若c?2a≤m恒成立，则m的最小值为．
3(★★★)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若c?cosB+bcosC=2a?cosA，M为BC的中点，且AM=1，则b+c的最大值是．
4(★★★)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若(a+b)(sinA－sinB)=c(sinC+sinB)，b+c=4，则△ABC的面积的最大值为．
5(★★★)已知在△ABC中，∠BAC=2π3，点P在边BC上，且AP⊥AB，AP=3．
(1)若PC=7，求PB．(2)求2PB+1PC的取值范围．
6(★★★)如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠CAB=60°，∠BCD=120°，AC=2．
(1)若∠ABC=30°，求DC；
(2)记∠ABC=θ，当θ为何值时，△BCD的面积有最小值？求出最小值．
【题型二】解三角形应用举例
【典题1】如图，一架飞机以600km/?的速度，沿方位角60°的航向从A地出发向B地飞行，飞行了36min后到达E地，飞机由于天气原因按命令改飞C地，已知AD=6003km，CD=1200km，BC=500km，且∠ADC=30°，∠BCD=113°．问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行，此时E地离C地的距离是多少？(参考数据：tan37°=34)
巩固练习
1(★★★)如图，海平面某区域内有A，B，C三座小岛，岛C在A的北偏东70°方向，岛C在B的北偏东40°方向，岛B在A的南偏东65°方向，且A，B两岛间的距离为3海里．
(1)求B，C两岛间的距离；
(2)经测算海平面上一轮船D位于岛C的北偏西50°方向，且与岛C相距32海里，求轮船在岛A的什么位置．(注：小岛与轮船视为一点)
2(★★★)如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=1,BC=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC，点P在边AB上，设∠MOD=θ；
(1)若θ=30°，求三角形铁皮PMN的面积；
(2)求剪下的三角形铁皮PMN面积的最大值．
3(★★★★)如图，已知扇形OMN是一个观光区的平面示意图，其中扇形半径为10米，∠MON=π3，为了便于游客观光和旅游，提出以下两种设计方案：
(1)如图1，拟在观光区内规划一条三角形ABO形状的道路，道路的一个顶点B在弧MN上，另一顶点A在半径OM上，且AB∥ON，求△ABO周长的最大值；
(2)如图2，拟在观光区内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃ABC的一个顶点B在弧MN上，另两个顶点A、C在半径OM、ON上，且AB∥ON，AC⊥ON，求花圃△ABC面积的最大值．...
1正弦定理
①正弦定理
asinA=bsinB=csinC=2R(其中R是三角形外接圆半径)
②变形
(1)a+b+csinA+sinB+sinC=asinA=bsinB=csinC
(2)化边为角
a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
a:b:c=sinA:sinB:sinC,
ab=sinAsinB,bc=sinBsinC,ac=sinAsinC
(3)化角为边
sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2RsinAsinB=ab,sinBsinC=bc,sinAsinC=ac
理由
a?sinB+c?sinC=b?sinC
a?b2R+c?c2R=b?c2R
a?b+c?c=b?c
有角有边的等式
化为
只含边的等式
a?sinB+c?sinC=b?sinC（*）
a?b+c?c=b?c
理由
a?sinB+c?sinC=b?sinC
a?b2R+c?c2R=b?c2R
a?b+c?c=b?c
有角有边的等式
化为
只含边的等式
a?sinB+c?sinC=b?sinC（*）
a?b+c?c=b?c
③正弦定理的“齐次角边互换”
等式(?)中含有三个式子(a?sinB、c?sinC、b?sinC)，每个式子中都有一个sin值，并且它们的次数都是1，则可以把sinB、sinC直接转化为对应的边b、c！
同理a?sinB+c?sinC=b?sinC?sinA?sinB+sinC?sinC=sinB?sinC.
思考以下转化是否正确
(1)a?sinB+c?sinC=b?a?b+c?c=b(错)，
(2)sinA?sinB+sinB?sinC=sin2A?a?b+b?c=a2(对)
④利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题
(1)已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；
Eg在△ABC，内角A,B,C所对的边分别是a，b，c，B=30°，A=45°，b=2，则边a=.
(2)已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边.
Eg在△ABC，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,A=60°,c=2，a=3，则角C=.
(三角形中有一组对边和对角就可考虑正弦定理)
⑤三角形解的个数问题
已知两边a、b和其中一边的对角A，不能确定三角形的形状，此时三角形解可能是无解、一解、两解，要分类讨论.
A是锐角
A是直角或钝角
a≥b
ab，且A为锐角，∴B有一解，故三角形只有一解；
方法2图像法
先做出角∠CAB=60°,过点C作CD⊥BC,此时可知CD=23π2?cosA=b2+c2?a22bc0?b2+c2>a2.
⑤射影定理
a=c?cosB+b?cosC
b=a?cosC+c?cosA
c=b?cosA+a?cosB
【题型一】三角形最值问题
【典题1】锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知2asinC=3c，a=1，则△ABC周长的范围为.
【典题2】边长为1的正方形ABCD的边BC上有一点P，边CD上有一点Q，满足△CPQ的周长为2．
(1)求∠QAP的大小；(2)求△APQ面积的最小值．
巩固练习
1(★★)设锐角△ABC的三内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且b=2，A=2B，则a的取值范围为．
2(★★★)在△ABC中，∠B=60°，b=3，若c?2a≤m恒成立，则m的最小值为．
3(★★★)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若c?cosB+bcosC=2a?cosA，M为BC的中点，且AM=1，则b+c的最大值是．
4(★★★)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若(a+b)(sinA－sinB)=c(sinC+sinB)，b+c=4，则△ABC的面积的最大值为．
5(★★★)已知在△ABC中，∠BAC=2π3，点P在边BC上，且AP⊥AB，AP=3．
(1)若PC=7，求PB．(2)求2PB+1PC的取值范围．
6(★★★)如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠CAB=60°，∠BCD=120°，AC=2．
(1)若∠ABC=30°，求DC；
(2)记∠ABC=θ，当θ为何值时，△BCD的面积有最小值？求出最小值．
【题型二】解三角形应用举例
【典题1】如图，一架飞机以600km/?的速度，沿方位角60°的航向从A地出发向B地飞行，飞行了36min后到达E地，飞机由于天气原因按命令改飞C地，已知AD=6003km，CD=1200km，BC=500km，且∠ADC=30°，∠BCD=113°．问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行，此时E地离C地的距离是多少？(参考数据：tan37°=34)
巩固练习
1(★★★)如图，海平面某区域内有A，B，C三座小岛，岛C在A的北偏东70°方向，岛C在B的北偏东40°方向，岛B在A的南偏东65°方向，且A，B两岛间的距离为3海里．
(1)求B，C两岛间的距离；
(2)经测算海平面上一轮船D位于岛C的北偏西50°方向，且与岛C相距32海里，求轮船在岛A的什么位置．(注：小岛与轮船视为一点)
2(★★★)如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=1,BC=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC，点P在边AB上，设∠MOD=θ；
(1)若θ=30°，求三角形铁皮PMN的面积；
(2)求剪下的三角形铁皮PMN面积的最大值．
3(★★★★)如图，已知扇形OMN是一个观光区的平面示意图，其中扇形半径为10米，∠MON=π3，为了便于游客观光和旅游，提出以下两种设计方案：
(1)如图1，拟在观光区内规划一条三角形ABO形状的道路，道路的一个顶点B在弧MN上，另一顶点A在半径OM上，且AB∥ON，求△ABO周长的最大值；
(2)如图2，拟在观光区内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃ABC的一个顶点B在弧MN上，另两个顶点A、C在半径OM、ON上，且AB∥ON，AC⊥ON，求花圃△ABC面积的最大值．...
