6.4.3 余弦定理、正弦定理2-新教材人教A版必修第二册练习(教师版) 人教版
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- 种草时间:2025/6/28 14:59:00
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文件简介::
余弦定理、正弦定理2
1正弦定理
①正弦定理
asinA=bsinB=csinC=2R(其中R是三角形外接圆半径)
②变形
(1)a+b+csinA+sinB+sinC=asinA=bsinB=csinC
(2)化边为角
a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
a:b:c=sinA:sinB:sinC,
ab=sinAsinB,bc=sinBsinC,ac=sinAsinC
(3)化角为边
sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2RsinAsinB=ab,sinBsinC=bc,sinAsinC=ac
理由
a?sinB+c?sinC=b?sinC
a?b2R+c?c2R=b?c2R
a?b+c?c=b?c
有角有边的等式
化为
只含边的等式
a?sinB+c?sinC=b?sinC（*）
a?b+c?c=b?c
理由
a?sinB+c?sinC=b?sinC
a?b2R+c?c2R=b?c2R
a?b+c?c=b?c
有角有边的等式
化为
只含边的等式
a?sinB+c?sinC=b?sinC（*）
a?b+c?c=b?c
③正弦定理的“齐次角边互换”
等式(?)中含有三个式子(a?sinB、c?sinC、b?sinC)，每个式子中都有一个sin值，并且它们的次数都是1，则可以把sinB、sinC直接转化为对应的边b、c！
同理a?sinB+c?sinC=b?sinC?sinA?sinB+sinC?sinC=sinB?sinC.
思考以下转化是否正确
(1)a?sinB+c?sinC=b?a?b+c?c=b(错)，
(2)sinA?sinB+sinB?sinC=sin2A?a?b+b?c=a2(对)
④利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题
(1)已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；
Eg在△ABC，内角A,B,C所对的边分别是a，b，c，B=30°，A=45°，b=2，则边a=.
(2)已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边.
Eg在△ABC，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,A=60°,c=2，a=3，则角C=.
(三角形中有一组对边和对角就可考虑正弦定理)
⑤三角形解的个数问题
已知两边a、b和其中一边的对角A，不能确定三角形的形状，此时三角形解可能是无解、一解、两解，要分类讨论.
A是锐角
A是直角或钝角
a≥b
ab，且A为锐角，∴B有一解，故三角形只有一解；
方法2图像法
先做出角∠CAB=60°,过点C作CD⊥BC,此时可知CD=23π2?cosA=b2+c2?a22bc0?b2+c2>a2.
⑤射影定理
a=c?cosB+b?cosC
b=a?cosC+c?cosA
c=b?cosA+a?cosB
【题型一】三角形最值问题
【典题1】锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知2asinC=3c，a=1，则△ABC周长的范围为.
【解析】∵2asinC=3c，∴由正弦定理得2sinAsinC=3sinC，
∵00?b+c>3
∵bc≤b+c24，∴(b+c)2?13≤b+c24
∴b+c≤2，当且仅当b=c=1时等号成立，
∴30∴m+n≥2mn
即1?mn≥2mn解得0
∴S△APQ=1?mn2≥2?1
∴S△APQ最小值为2?1．
【点拨】
①本题还有一种方法，如图，延长PB到E,使得BE=DQ，利用△APQ?△APE.
②方法1是引入角度变量，第二问用三角函数表示边长，面积最值最后转化为三角函数的最值问题(涉及到辅助角公式、二倍角公式等)；而方法2是引入线段变量，而建系的方式使得每个量都能通过点的坐标得到，使得解题思路更简洁些；
③涉及到三角形面积，求法有S=12×底×高、S=12absinC、隔补法等.
巩固练习
1(★★)设锐角△ABC的三内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且b=2，A=2B，则a的取值范围为．
【答案】(22，23)
【解析】锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，A=2B，
∴0<2B<π2，且B+A=3B，
∴π2<3B<π．
∴π6
∴22
∵b=2，A=2B，
∴由正弦定理可得：a=b?sin2BsinB=2bsinBcosBsinB=4cosB，
∴可得：22<4cosB<23，
则a的取值范围为(22，23)．
2(★★★)在△ABC中，∠B=60°，b=3，若c?2a≤m恒成立，则m的最小值为．
【答案】3
【解析】∵∠B=60°，b=3，
由正弦定理可得，asinA=csinC=332=2，
∴a=2sinA，c=2sinC=2sin(120°－A)，
∴c－2a=2sin(120°－A)－4sinA=3cosA?3sinA=23cos(A+60°)
∵0°
∴600
∴?1
∴－23<23cos(A+60°)<3，
∵c－2a≤m恒成立，
则m≥3，即m的最小值为3，
故答案为：3．
3(★★★)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若c?cosB+bcosC=2a?cosA，M为BC的中点，且AM=1，则b+c的最大值是．
【答案】433
【解析】在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若ccosB+bcosC＝2acosA，
利用正弦定理：sinCcosB+sinBcosC＝2sinAcosA，
所以sin(B+C)＝sinA＝2sinAcosA，
由于sinA≠0，所以cosA=12，
∴0
M为BC的中点，且AM＝1，
设BC＝2x，
则：2x2＝b2+c2－2bccosA，
故：2x2=b2+c2?bc2，
利用余弦定理得：c2＝12+x2－2xcos∠BMA①，
同理：b2＝12+x2－2xcos∠CMA②
由①②得：b2+c2＝2+2x2，
所以b2+c2=c2+b2?bc2+2，
故b+c2＝4－bc，
整理得(b+c)2≤4?(b+c2)2，
解得0
故答案为：433
4(★★★)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若(a+b)(sinA－sinB)=c(sinC+sinB)，b+c=4，则△ABC的面积的最大值为．
【答案】3
【解析】∵(a+b)(sinA－sinB)=c(sinC+sinB)，
∴由正弦定理可得：(a+b)(a－b)=c(c+b)，整理可得：b2+c2－a2=－bc，
∴cosA=b2+c2?a22bc=?bc2bc=?12，
∵A∈(0，π)，∴A=2π3，
∵b+c=4，
∴S△ABC=12bcsinA=34bc≤34b+c22=3，当且仅当b=c时等号成立，
即△ABC的面积的最大值为3．
5(★★★)已知在△ABC中，∠BAC=2π3，点P在边BC上，且AP⊥AB，AP=3．
(1)若PC=7，求PB．(2)求2PB+1PC的取值范围．
【答案】(1)7(2)(1，233]
1正弦定理
①正弦定理
asinA=bsinB=csinC=2R(其中R是三角形外接圆半径)
②变形
(1)a+b+csinA+sinB+sinC=asinA=bsinB=csinC
(2)化边为角
a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
a:b:c=sinA:sinB:sinC,
ab=sinAsinB,bc=sinBsinC,ac=sinAsinC
(3)化角为边
sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2RsinAsinB=ab,sinBsinC=bc,sinAsinC=ac
理由
a?sinB+c?sinC=b?sinC
a?b2R+c?c2R=b?c2R
a?b+c?c=b?c
有角有边的等式
化为
只含边的等式
a?sinB+c?sinC=b?sinC（*）
a?b+c?c=b?c
理由
a?sinB+c?sinC=b?sinC
a?b2R+c?c2R=b?c2R
a?b+c?c=b?c
有角有边的等式
化为
只含边的等式
a?sinB+c?sinC=b?sinC（*）
a?b+c?c=b?c
③正弦定理的“齐次角边互换”
等式(?)中含有三个式子(a?sinB、c?sinC、b?sinC)，每个式子中都有一个sin值，并且它们的次数都是1，则可以把sinB、sinC直接转化为对应的边b、c！
同理a?sinB+c?sinC=b?sinC?sinA?sinB+sinC?sinC=sinB?sinC.
思考以下转化是否正确
(1)a?sinB+c?sinC=b?a?b+c?c=b(错)，
(2)sinA?sinB+sinB?sinC=sin2A?a?b+b?c=a2(对)
④利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题
(1)已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；
Eg在△ABC，内角A,B,C所对的边分别是a，b，c，B=30°，A=45°，b=2，则边a=.
(2)已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边.
Eg在△ABC，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,A=60°,c=2，a=3，则角C=.
(三角形中有一组对边和对角就可考虑正弦定理)
⑤三角形解的个数问题
已知两边a、b和其中一边的对角A，不能确定三角形的形状，此时三角形解可能是无解、一解、两解，要分类讨论.
A是锐角
A是直角或钝角
a≥b
ab，且A为锐角，∴B有一解，故三角形只有一解；
方法2图像法
先做出角∠CAB=60°,过点C作CD⊥BC,此时可知CD=23π2?cosA=b2+c2?a22bc0?b2+c2>a2.
⑤射影定理
a=c?cosB+b?cosC
b=a?cosC+c?cosA
c=b?cosA+a?cosB
【题型一】三角形最值问题
【典题1】锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知2asinC=3c，a=1，则△ABC周长的范围为.
【解析】∵2asinC=3c，∴由正弦定理得2sinAsinC=3sinC，
∵00?b+c>3
∵bc≤b+c24，∴(b+c)2?13≤b+c24
∴b+c≤2，当且仅当b=c=1时等号成立，
∴30∴m+n≥2mn
即1?mn≥2mn解得0
∴S△APQ=1?mn2≥2?1
∴S△APQ最小值为2?1．
【点拨】
①本题还有一种方法，如图，延长PB到E,使得BE=DQ，利用△APQ?△APE.
②方法1是引入角度变量，第二问用三角函数表示边长，面积最值最后转化为三角函数的最值问题(涉及到辅助角公式、二倍角公式等)；而方法2是引入线段变量，而建系的方式使得每个量都能通过点的坐标得到，使得解题思路更简洁些；
③涉及到三角形面积，求法有S=12×底×高、S=12absinC、隔补法等.
巩固练习
1(★★)设锐角△ABC的三内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且b=2，A=2B，则a的取值范围为．
【答案】(22，23)
【解析】锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，A=2B，
∴0<2B<π2，且B+A=3B，
∴π2<3B<π．
∴π6
∴22
∵b=2，A=2B，
∴由正弦定理可得：a=b?sin2BsinB=2bsinBcosBsinB=4cosB，
∴可得：22<4cosB<23，
则a的取值范围为(22，23)．
2(★★★)在△ABC中，∠B=60°，b=3，若c?2a≤m恒成立，则m的最小值为．
【答案】3
【解析】∵∠B=60°，b=3，
由正弦定理可得，asinA=csinC=332=2，
∴a=2sinA，c=2sinC=2sin(120°－A)，
∴c－2a=2sin(120°－A)－4sinA=3cosA?3sinA=23cos(A+60°)
∵0°
∴600
∴?1
∴－23<23cos(A+60°)<3，
∵c－2a≤m恒成立，
则m≥3，即m的最小值为3，
故答案为：3．
3(★★★)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若c?cosB+bcosC=2a?cosA，M为BC的中点，且AM=1，则b+c的最大值是．
【答案】433
【解析】在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若ccosB+bcosC＝2acosA，
利用正弦定理：sinCcosB+sinBcosC＝2sinAcosA，
所以sin(B+C)＝sinA＝2sinAcosA，
由于sinA≠0，所以cosA=12，
∴0
M为BC的中点，且AM＝1，
设BC＝2x，
则：2x2＝b2+c2－2bccosA，
故：2x2=b2+c2?bc2，
利用余弦定理得：c2＝12+x2－2xcos∠BMA①，
同理：b2＝12+x2－2xcos∠CMA②
由①②得：b2+c2＝2+2x2，
所以b2+c2=c2+b2?bc2+2，
故b+c2＝4－bc，
整理得(b+c)2≤4?(b+c2)2，
解得0
故答案为：433
4(★★★)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若(a+b)(sinA－sinB)=c(sinC+sinB)，b+c=4，则△ABC的面积的最大值为．
【答案】3
【解析】∵(a+b)(sinA－sinB)=c(sinC+sinB)，
∴由正弦定理可得：(a+b)(a－b)=c(c+b)，整理可得：b2+c2－a2=－bc，
∴cosA=b2+c2?a22bc=?bc2bc=?12，
∵A∈(0，π)，∴A=2π3，
∵b+c=4，
∴S△ABC=12bcsinA=34bc≤34b+c22=3，当且仅当b=c时等号成立，
即△ABC的面积的最大值为3．
5(★★★)已知在△ABC中，∠BAC=2π3，点P在边BC上，且AP⊥AB，AP=3．
(1)若PC=7，求PB．(2)求2PB+1PC的取值范围．
【答案】(1)7(2)(1，233]