复数



1虚数单位的性质

i叫做虚数单位，并规定：

①i可与实数进行四则运算；

②i2=?1，这样方程x2=?1就有解了，解为x=?i，x=i.

③i2=?1,i3=?i,i4=1,in以4为周期，即i4+n=in.

2复数的概念

①定义

形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，a叫做实部，b叫做虚部.全体复数所成的集合C叫做复数集.复数通常用z字母表示，即z=a+bi(a,b∈R).

②分类

z=a+bi=b=0实数b≠0&虚数a=0且b≠0纯虚数

3复数相等

a+bi=c+di?a=c,b=d(a,b,c,d∈R)

也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等.

PS只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小.

4共轭复数

z=a+bi的共轭复数记作z=a?bi，且z?z=a2+b2.

5复数的几何意义

①复平面的概念

建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

②复数的几何意义

复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b)及平面向量OZ=a,b(a,b∈R)是一一对应关系(复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量)相等的向量表示同一个复数.

③复数的模

向量OZ的模叫做复数z=a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，表示点a,b到原点的距离，

即|z|=|a+bi|=a2+b2,|z|=|z|，

6代数形式的四则运算

①运算法则

设z1=a+bi，z2=c+di,a,b,c,d∈R

(1)z1±z2=a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i

(2)z1?z2=a+bi?(c+di)=(ac?bd)+(bc+ad)i

(3)z1z2=a+bic+di=a+bic?dic+di?c?di=ac+bd+bc?adic2+d2

②加减法的几何意义

几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，



即OZ=OZ1+OZ2,Z1Z2=OZ2?OZ1.
若z1=a+bi,z2=c+di，

(1)|z1?z2|表示(a,b)到(c,d)的距离，即z1?z2=a?c2+b?d2.

(2)z?z1=r(r>0)表示以(a,b)为圆心，r为半径的圆.

7?复数的三角表示

①一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成

r(cosθ+isinθ)

的形式，其中，r是复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角，r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角形表示式.

规定：在0≤θ1D．z在复平面中所对应的点不可能在第三象限













【典题3】设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=3+i，则|z1?z2|=．















【典题4】若Z∈C，且|Z+2?2i|=1，则|Z?2?2i|的最小值是．

















【典题5】复数z满足|z+i|+|z?2|=5，则|z|的取值范围是．



















【典题6】已知复数z满足|z|=1，则|z+i|+|z?i|的最大值是．



















巩固练习

1(★)已知两非零复数z1,z2，若z1?z2∈R，则一定成立的是( )

A．z1+z2∈RB．z1?z2∈RC．z1z2∈RD．z1z2∈R

2(★)已知x,y∈R,i为虚数单位，且(x?2)i?y=1+i，则1+ix+y的值为．

3(★)已知复数z=8?i2+3i(i为虚数单位)，下列说法其中正确的有个.

①复数z在复平面内对应的点在第四象限；②|z|=5；③z的虛部为?2i；④z=1?2i．

4(★★)设z1，z2是复数，给出四个命题

①若z1?z2=0，则z1=z2②若z1=z2，则z1=z2

③若|z1|＝|z2|，则z1?z1=z2?z2④若|z1|＝|z2|，则z12=z22

其中真命题有个．

5(★★)设复数z满足|z－5i|=2，则z?z的最大值为．

6(★★)若复数z满足z?z+z+z≤0，则复数|z?1?i|的最大值为．

7(★★)若复数z满足|z|=1，则|(z+i)(z?i)|的最大值是．

8(★★)已知三个复数z1,z2,z3，并且|z1|=|z2|=|z3|=1，z1,z2所对应的向量Oz1，Oz2满足Oz1?Oz2=0，则|z1+z2?z3|的取值范围是．

9(★★)当复数z满足|z+3?4i|=1时，则|z+2|的最小值是．

10(★★)已知A(1,2),B(a,1),C(2,3),D(?1,b)(a,b∈R)是复平面上的四个点，且向量AB，CD对应的复数分别为z1,z2．

(1)若z1+z2=1+i，求z1,z2

(2)若|z1+z2|=2，z1?z2为实数，求a,b的值．