复数



1虚数单位的性质

i叫做虚数单位，并规定：

①i可与实数进行四则运算；

②i2=?1，这样方程x2=?1就有解了，解为x=?i，x=i.

③i2=?1,i3=?i,i4=1,in以4为周期，即i4+n=in.

2复数的概念

①定义

形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，a叫做实部，b叫做虚部.全体复数所成的集合C叫做复数集.复数通常用z字母表示，即z=a+bi(a,b∈R).

②分类

z=a+bi=b=0实数b≠0&虚数a=0且b≠0纯虚数

3复数相等

a+bi=c+di?a=c,b=d(a,b,c,d∈R)

也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等.

PS只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小.

4共轭复数

z=a+bi的共轭复数记作z=a?bi，且z?z=a2+b2.

5复数的几何意义

①复平面的概念

建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

②复数的几何意义

复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b)及平面向量OZ=a,b(a,b∈R)是一一对应关系(复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量)相等的向量表示同一个复数.

③复数的模

向量OZ的模叫做复数z=a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，表示点a,b到原点的距离，

即|z|=|a+bi|=a2+b2,|z|=|z|，

6代数形式的四则运算

①运算法则

设z1=a+bi，z2=c+di,a,b,c,d∈R

(1)z1±z2=a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i

(2)z1?z2=a+bi?(c+di)=(ac?bd)+(bc+ad)i

(3)z1z2=a+bic+di=a+bic?dic+di?c?di=ac+bd+bc?adic2+d2

②加减法的几何意义

几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，



即OZ=OZ1+OZ2,Z1Z2=OZ2?OZ1.
若z1=a+bi,z2=c+di，

(1)|z1?z2|表示(a,b)到(c,d)的距离，即z1?z2=a?c2+b?d2.

(2)z?z1=r(r>0)表示以(a,b)为圆心，r为半径的圆.

7?复数的三角表示

①一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成

r(cosθ+isinθ)

的形式，其中，r是复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角，r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角形表示式.

规定：在0≤θ0，即a+b≥2，

即a+b的取值范围是[2,+∞).

【点拨】

①复数相等：a+bi=c+di?a=c,b=d(a,b,c,d∈R)，注意分辨出复数的实部和虚部.

②若关于x的方程fx+g(x)i=0有实数解，则fx=0,gx=0.



【题型二】复数的几何意义与运算

【典题1】已知复数z=8?i2+3i(i为虚数单位)，下列说法其中正确的是.

①复数z在复平面内对应的点在第四象限；

②|z|=5；

③z的虛部为?2i；

④z=1?2i．

【解析】∵z=8?i2+3i=(8?i)(2?3i)(2+3i)(2?3i)=13?26i13=1?2i，

∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(1,?2)，在第四象限；

|z|=5；z的虚部为?2；z=1+2i．

故①②正确；③④错误．

【点拨】

①遇到复数的除法，分母分子同乘“分母的共轭复数”z1z2=a+bic+di=a+bic?dic+di?c?di,把复数最终化简成z=a+bi(a、b∈R)形式；

②因为z1?z2=z1?z2，z1z2=z1z2，所以z=8?i2+3i的模等于z=8?i2+3i=6513=5.



【典题2】已知复数z的实部为1，虚部的绝对值为3，则下列说法错误的是( )

A．z+10z是实数B．z+10z1D．z在复平面中所对应的点不可能在第三象限

【解析】由已知得，z=1?3i或z=1+3i，

则z+10z=z+10z|z|2=z+z，(z?z=|z2=10，避免了分类讨论与计算)

∴z+10z=2，则A，C正确，B错误；

∵z的实部大于0，

故z在复平面中所对应的点不可能在第三象限，D正确．

故选B．

【点拨】

①若z=a+bi,则z?z=|?z2=a2+b2，z+z=2a,z?z=2b.

②注意一些复数的性质可减轻计算量.



【典题3】设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=3+i，则|z1?z2|=．

【解析】方法1∵z1+z2=3+i，∴|z1+z2|=2，

∴|z1+z2|2=4

∴(z1+z2)?z1+z2=4，(|z2=z?z,z1+z2=z1+z2)

∴8+z1z2+z1z2=4．得z1z2+z1z2=?4．

∴z1?z22=8－(z1z2+z1z2)=12．

又|z1?z2|>0，故|z1?z2|=23．

方法2向量法

∵z1=z2=2，

∴z1,z2在复平面上分别对应的点B,C在以原点为圆心，半径为2的圆上,

∵z1+z2=3+i,

∴z1+z2在复平面上对应的点A(3,1)在圆O上，

由向量的平行四边形法则，可知四边形OCAB是平行四边形,

如下图易知?AOC是等边三角形且边长为2，易求BC=23,

由向量的三角形法则可知z1?z2=|BC|=|BC|=23.



【点拨】

①|?z2=z?z,z1+z2=z1+z2；方法1直接运用了代数方法求解；

②复数加减法的几何意义

复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义.



即OZ=OZ1+OZ2,Z1Z2=OZ2?OZ1.

③方法2运用的是复数与向量之间的关系，再借助几何的手段进行求解.



【典题4】若Z∈C，且|Z+2?2i|=1，则|Z?2?2i|的最小值是．

【解析】方法1待定系数法

设Z=a+bia、b∈R,

∵|Z+2?2i|=1∴|a+2+(b?2)i|=1

∴a+22+b?22=1,∴b?22=1?a+22

则Z?2?2i=a?2+b?2i=a?22+b－22=1?8a

∵b?22=1?a+22

∴1?a+22≥0解得?3≤a≤?1

∴当a=?1时，Z?2?2i取到最小值3.

方法2几何法

|Z+2?2i|=1表示Z对应的点在以(?2,2)为圆心，半径r=1的圆上，

|Z?2?2i|就是圆上的点到(2,2)的距离，

其最小值为圆心(?2,2)到(2,2)的距离减去半径，即2??2?1=3，

故答案为3.

【点拨】

①方法1用了待定系数法，把问题转化为式子的最值问题，用到函数思想，此时特别注意自...